なんとなく脳トレがてら1日1問解説しようと思っただけです．飽きたらやめます．
問題
y^{\prime} = y(1-y).
を変数分離形として解け．
ポイント
- $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=P(x)Q(y)~$ の変数分離形です．
- 変数分離形についてはヨビノリさんの動画などが参考になります（自分スポンサーをしているので宣伝です）．
- 両辺を $Q(y)$ で割って $x$ で積分したくなるのですが， $Q(y)\neq 0$ に注意しましょう．
- つまり，$Q(y)\neq 0$ と $Q(y)=0$ で場合分けが必要です．
- 積分計算がちょっと厄介です．部分分数分解をマスターしましょう．
解説
$P(x)=1, Q(y)=y(1-y)$ の変数分離形です．左辺に $y$ の式，右辺に $x$ の式を持っていき，それぞれ積分しましょう． なお，変数分離を行う前に，$Q(y)$ が恒等的に0になる関数 $y(x)$ がないかチェックしておきましょう．今回は，$Q(y) = y(1-y)=0$ より， $y=0$ および $y=1$ が地雷です． 場合分けして解いていきましょう．
① $y(1-y)\neq 0$ のとき．
両辺を $y(1-y)$ で割って，両辺を $x$ で積分します（形式的には左辺を $y$，右辺を $x$ で積分することになります）．
\begin{align}
y^{\prime} &= y(1-y), \\
\frac{1}{y(1-y)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=1,\\
\int\frac{1}{y(1-y)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x&=\int 1\mathrm{d}x,\\
\int\frac{1}{y(1-y)}\mathrm{d}y&=\int 1\mathrm{d}x.\\
\end{align}
ここで，$\displaystyle\frac{1}{y(1-y)}=\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}=\frac{1}{y}-\frac{1}{y-1}$ と部分分数分解できるから（本文末尾で過程を補足），
\begin{align}
\int\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{y-1}\right)\mathrm{d}y&=\int 1\mathrm{d}x.
\end{align}
後は，$\log A-\log B = \log\dfrac{A}{B}$ に注意してそれぞれ積分・変形を行おう．過程は次の通りです．
\begin{align}
\log{|~y~|}-\log{|~y-1~|}&=x+C_1~~~(C_1:任意定数),\\
\log{\frac{|~y~|}{|~y-1~|}}&=x+C_1,\\
\log{\left|~\frac{y}{y-1}~\right|}&=x+C_1,\\
\left|~\frac{y}{y-1}~\right|&=e^{x+C_1}~~~(\because 両辺の指数をとった),\\
\left|~\frac{y}{y-1}~\right|&=e^{C_1}e^{x},\\
\therefore\frac{y}{y-1}&=\pm e^{C_1}e^{x}.\\
\end{align}
ここで，1日目の問題 同様， $C_1$ が任意の実数値を取るとき， $\pm e^{C_1}$ は0以外のすべての値をとるので，上記は
\frac{y}{y-1}=Ce^{x}~~~(C\neq 0),
と書き換えることができます．あとはこれを $y$ について解くだけです．両辺に $(y-1)$ をかけて，
\begin{align}
y &= (y-1)Ce^x,\\
y &= yCe^x-Ce^x,\\
y(1-Ce^x)&=-Ce^x,\\
y&=\frac{-Ce^x}{1-Ce^x},\\
\therefore y&=\frac{Ce^x}{Ce^x-1}~~~(C\neq 0).
\end{align}
② $y(1-y)=0$ のとき．
$y=0$ または $y=1$ のとき，いずれも $y^\prime = 0$ であるから，関数 $y=0$，$y=1$ は方程式 $y^{\prime} = y(1-y)$ を満たします．よって $y=0, y=1$ も解です．
また， $y=0$ は，①の解 $y =\dfrac{Ce^x}{Ce^x-1}$ において，$C=0$ としたものと一致します．
これに対して， $y=1$ は， $y = \dfrac{Ce^x}{Ce^x-1}$ において，$C$ をどのように選んでも作ることが出来ません（このような解を特異解といいます）．
よって，①と②の解を合わせれば，
y =\dfrac{Ce^x}{Ce^x-1}~~~(C: 任意定数),~y=1,
が微分方程式 $y^{\prime} = y(1-y) x$ の解．
【補足1】 部分分数分解
$\dfrac{y}{1-y}$ の部分分数分解のやり方を簡単に詳解します．
まず，$\dfrac{1}{y(1-y)} = \dfrac{A}{y}+\dfrac{B}{1-y}$ とおきます．
方法① 数値代入法
両辺に $y(1-y)$ をかけると，
1 = A(1-y) + By,
という $y$ についての恒等式ができます．後は，$y$ に任意の実数を代入して $A$ と $B$ に関する連立方程式を得ます．
$y=0$ を代入して，
1 = A,
$y=1$ を代入して，
1 = B,
よって $\dfrac{1}{y(1-y)} = \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1-y}$．
方法② 係数比較法
右辺を通分すると，
\frac{1}{y(1-y)} = \frac{(-A+B)y+A}{y(1-y)},
と変形できるから，分子に着目し $y$ の多項式についての係数の比較を行いましょう．左辺は1であるから，右辺の $y$ の係数は0， 定数項の値が1になります．よって，得られる連立方程式は次の通りです．
\begin{align}
\left\{ \,
\begin{aligned}
0 & = -A+B, \\
1 & = A. \\
\end{aligned}
\right.
\end{align}
よって $A=B=1$ であるから $\dfrac{1}{y(1-y)} = \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1-y}$．
方法③ 暗算1
やっていることはほとんど方法②の係数比較法です．頭の中を書き出してみると，
- $\dfrac{1}{y(1-y)}$ の分子に $y$ の項がない
- $y$ と $1-y$ における $y$の係数は 1 と -1 で異符号
という条件から，
\frac{1}{y(1-y)} = \frac{1}{a}\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1-y}\right)
であることがぱっと見わかります．$a$ は，実際に右辺の括弧()内を通分して計算したときの定数項の値です．今回はたまたま1なので即完了です．
方法④ 暗算2
やっていることは数値代入法です．連立方程式すら書きたくない人向けです．証明はクドいだけなので省略しますが，$A$ および $B$ は以下のような暗算レベルの計算で求めることができます．
\begin{align}
A &= \left.\frac{1}{y}\right|_{y=1}=1,\\
B &= \left.\frac{1}{1-y}\right|_{y=0}=1.\\
\end{align}
イメージはクラメルの公式です．$A$ を求めるときは，第1項の $A$ を左辺の分子に置き換えて，$y$ には第2項の分母が 0 になる $y$ （ここでは $y=1$ ） を代入します．同様に，$B$ を求めるときは，第2項の$B$を左辺の分子に置き換えて，$y$ には第1項の分母が 0 になる $y$ （ここでは $y=0$ ） を代入します．
詳細はこちらのサイトがわかりやすいです．
【補足2】
部分分数分解後の変形によっては，解が，
y =\dfrac{Ce^x}{Ce^x+1}~~~(C: 任意定数),~y=1,
や，
y =\dfrac{e^x}{e^x+C}~~~(C: 任意定数),~y=1,
のようになるかもしれないですが，どれも本質的には同じなので正解です．
【補足3】
$y^{\prime} = y(1-y)$ は $y^{\prime} -y= y^2$ としたベルヌーイ型としても解けます．
こちらも，よろしければヨビノリさんの動画をご参照ください．
【参考】 Wolframalpha
非常に便利なので皆さん積極的に使っていきましょう．