本日の微分方程式（1日目）

なんとなく脳トレがてら1日1問解説しようと思っただけです．飽きたらやめます．

問題

y^{\prime} = y\cos x.

ポイント

• $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=P(x)Q(y)~$ の変数分離型です．
• 両辺を $Q(y)$ で割って $x$ で積分したくなるのですが， $Q(y)\neq 0$ に注意しましょう．
  • つまり，$Q(y)\neq 0$ と $Q(y)=0$ で場合分けが必要です．

解答

① $y\neq 0$ のとき．

\begin{align}
    y^{\prime} &= y\cos x, \\
    \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=y\cos x,\\
    \frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\cos x.
\end{align}

両辺を $x$ で積分して，

\begin{align}
    \int\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x&=\int\cos x\mathrm{d}x,\\
    \int\frac{1}{y}\mathrm{d}y&=\int\cos x\mathrm{d}x,\\
    \log|~y~|&=\sin x +C_1~~~(C_1:任意定数).
\end{align}

ここで，両辺の指数をとると，

\begin{align}
      e^{\log{|~y~|}}&=e^{\sin x +C_1},\\
    |~y~|&=e^{C_1}e^{\sin x},\\
    y &=\pm e^{C_1}e^{\sin x}.
\end{align}

また， $C_1$ が任意の実数値を取るとき， $\pm e^{C_1}$ は0以外のすべての値をとるので（$y=e^x$ および $y=-e^x$ のグラフの漸近線が $y=0$ であることをイメージしよう），解は

y =Ce^{\sin x}~~~(C\neq 0),

と書き換えることができる．

② $y=0$ のとき．

$y=0$ のとき $y^\prime = 0$ であるから，関数 $y=0$ は方程式 $y^{\prime} = y\cos x$ を満たす．
よって $y=0$ も解である．

また， $y=0$ は，①の解 $y =Ce^{\sin x}~~~(C\neq 0)$において，$C=0$ としたものと一致する．
よって，①と②の解を合わせれば，

y =Ce^{\sin x}~~~(C: 任意定数),

が微分方程式 $y^{\prime} = y\cos x$ の解である．

【参考】 Wolframalpha

非常に便利なので皆さん積極的に使っていきましょう．