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問題
定数変化法を使を用いて，以下の微分方程式の一般解を求めよ．
\begin{align}\tag{1}
y^\prime -3y = x^2.
\end{align}
⚠ 本日の微分方程式（15日目）と同じ微分方程式です．解法だけ異なります．
ポイント
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一階線形微分方程式 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$ の 定数変化法 での解き方は次のとおりです．
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STEP1. $Q(x)\equiv 0$ とおいた微分方程式（同次線形方程式）の一般解を求める．
- 具体的には，任意定数を $C$ として，$y(x) = Ce^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$ となる．
- STEP2. 定数 $C$ を，$x$ の関数 $C(x)$ で置き換え，一般解の両辺を微分する．
- STEP3. 元の微分方程式に，STEP2で得た結果を代入し， $C(x)$ と $x$ についての微分方程式を得る．
- STEP4. $C(x)$ を求め，一般解 $y(x) = C(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$ を得る．
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STEP1. $Q(x)\equiv 0$ とおいた微分方程式（同次線形方程式）の一般解を求める．
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一階線形微分方程式については，ヨビノリさんの動画もご参照ください．
解説
ポイントに記載の手順通り進めていきます．
STEP1. $Q(x)\equiv 0$ とおいた微分方程式（変数分離形）の一般解を求める．
本問において，右辺 $=0$ とおいた微分方程式を解けば良いわけです．つまり，解くべき微分方程式は次の通りです．
\begin{align}\tag{2}
y^\prime -3y = 0.
\end{align}
変数分離形ですので，サクッと求めてしまいましょう．一応計算過程は丁寧に書いておきますが，18日目まで全問解いてきたような方は，暗算で $y=Ce^{3x}$ としていただいて構いません．
\begin{align}\tag{3}
y^\prime &= 3y,\\
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= 3y,\\
\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= 3,\\
\int\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x &= \int 3\mathrm{d}x,\\
\int\frac{1}{y}\mathrm{d}y &= \int 3\mathrm{d}x,\\
\log|~y~| &= 3x + C_1~~~(C_1:任意定数),\\
|~y~| &= e^{3x + C_1},\\
y &= \pm e^{C_1}e^{3x},\\
\therefore y &= Ce^{3x}~~~(C\neq 0).
\end{align}
式(2)に代入して確認できるように，$y=0$ も解なので，式(3)の結果において $C=0$ とみることで，同次線形方程式の解は，
\begin{align}\tag{4}
\therefore y &= Ce^{3x}~~~(C:任意定数).
\end{align}
STEP2. 定数 $C$ を，$x$ の関数 $C(x)$ で置き換え，一般解の両辺を微分する．
式(4)において，定数 $C$ を，$x$ の関数 $C(x)$ で置き換えたものは，
\begin{align}\tag{5}
\therefore y &= C(x)e^{3x},
\end{align}
と書くことができます．両辺を $x$ で微分すると，
\begin{align}\tag{6}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\mathrm{d}C(x)}{\mathrm{d}x}e^{3x}+3C(x)e^{3x},
\end{align}
を得ます．ここで，右辺では積の微分公式 $\left(f(x)g(x)\right)^\prime = f(x)^{\prime}g(x)+f(x)g(x)^{\prime}$ を用いました．
STEP3. 元の微分方程式に，STEP2で得た結果を代入し， $C(x)$ と $x$ についての微分方程式を得る．
式(5)と式(6)を，式(1)に代入すると，次のようになります．
\begin{align}\tag{7}
\frac{\mathrm{d}C(x)}{\mathrm{d}x}e^{3x}+3C(x)e^{3x} -3\times C(x)e^{3x} &= x^2,\\
\therefore \frac{\mathrm{d}C(x)}{\mathrm{d}x}e^{3x} &= x^2.\\
\end{align}
このように，定数変化法では，代入操作時にキャンセルが発生します（数日後の証明で確かめましょう）．
STEP4. $C(x)$ を求め，一般解 $y(x) = C(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$ を得る．
最終的に得られた微分方程式は，親の顔より見た変数分離形です．これもまたサクッと解いていきましょう．
\begin{align}\tag{8}
\frac{\mathrm{d}C(x)}{\mathrm{d}x}e^{3x} &= x^2.\\
\frac{\mathrm{d}C(x)}{\mathrm{d}x} &= x^2 e^{-3x},\\
\int \frac{\mathrm{d}C(x)}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x &= \int x^2 e^{-3x}\mathrm{d}x,\\
\int \mathrm{d}C(x) &= \int x^2 e^{-3x}\mathrm{d}x,\\
C(x) &= -\frac{1}{3}x^2e^{-3x} - \frac{2}{9}xe^{-3x} - \frac{2}{27}e^{-3x} +C_2~~~(C_2:任意定数).\\
\end{align}
よって，これを式(5)に代入することで一般解が求まります．
\begin{align}\tag{9}
y&=\left(- \frac{1}{3}x^2e^{-3x} - \frac{2}{9}xe^{-3x} - \frac{2}{27}e^{-3x} +C_2 \right)\times e^{3x},\\
\therefore y&=- \frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{9}x - \frac{2}{27}+C_2e^{3x}~~~(C_2:任意定数).\\
\end{align}
【補足】 瞬間部分積分
最後の式の部分積分は，俗に言う瞬間部分積分と呼ばれるもので暗算しています．
（まともに計算をしても良いのですが，$\LaTeX$ で書くのが面倒だったのもあります．）
\begin{align}
\int f(x)g(x)\mathrm{d}x &= f^{(0)}g^{(-1)}-f^{(1)}g^{(-2)}+f^{(2)}g^{(-3)}-f^{(4)}g^{(-4)}+\cdots\\
\int x^2\times e^{-3x}\mathrm{d}x &=- \frac{1}{3}x^2e^{-3x} - \frac{2}{9}xe^{-3x} - \frac{2}{27}e^{-3x} +C
\end{align}
詳しくは，ヨビノリさんの動画をご参照ください．
【参考】 Wolframalpha
非常に便利なので皆さん積極的に使っていきましょう．