本日の微分方程式（15日目）

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問題

積分因子を用いて，以下の微分方程式の一般解を求めよ．

\begin{align}\tag{1}
y^\prime -3y = x^2.
\end{align}

ポイント

• $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$ の形式の微分方程式は，一階線形微分方程式と呼ばれます．
• 積分因子とは， $e^{\int P(x)\mathrm{d}x}$ のことです．一階線形微分方程式は，積分因子をかけることで，左辺が積の微分の形になります．
• 一階線形微分方程式については，ヨビノリさんの動画もご参照ください．

解説

まずは積分因子を具体的に求めていきましょう．
$P(x)=-3, Q(x) = x^2$ ですから，

\begin{align}\tag{2}
e^{\int P(x)\mathrm{d}x}=e^{\int -3\mathrm{d}x}=e^{-3x},
\end{align}

と求まります（ここの積分においては，$P(x)$ の原始関数を1つ求めるだけでいいので，任意定数は不要です．参考）．

これを与えられた微分方程式（1）の両辺にかけていきましょう．

\begin{align}\tag{3}
y^\prime\times e^{-3x} -3y\times e^{-3x} = x^2\times e^{-3x}.
\end{align}

さて，左辺は積の微分の形になっているはずです．
積の微分公式 $\left(f(x)g(x)\right)^\prime = f(x)^{\prime}g(x)+f(x)g(x)^{\prime}$ と，にらめっこしてみましょう．
$f(x)=y,~g(x)=e^{-3x}$ としてみれば，$\left(f(x)g(x)\right)^\prime$は，

\begin{align}\tag{4}
(y\times e^{-3x})^\prime = y^\prime\times e^{-3x} -3y\times e^{-3x},
\end{align}

と表すことが出来ます．紛れもなく式(3)の左辺と一緒です．
したがって，式(4)の結果を式(3)に代入すれば，

\begin{align}\tag{5}
(y\times e^{-3x})^\prime = x^2\times e^{-3x},
\end{align}

との関係式を得ます．後は両辺を $x$ で積分して完了です．

\begin{align}\tag{6}
\int(y\times e^{-3x})^\prime \mathrm{d}x&= \int x^2\times e^{-3x}\mathrm{d}x,\\
y\times e^{-3x}&= \int x^2\times e^{-3x}\mathrm{d}x,\\

y\times e^{-3x}&= - \frac{1}{3}x^2e^{-3x}- \frac{2}{9}xe^{-3x} - \frac{2}{27}e^{-3x}+C~~~(C:任意定数),\\
y&=e^{3x}\left(- \frac{1}{3}x^2e^{-3x} - \frac{2}{9}xe^{-3x} - \frac{2}{27}e^{-3x} +C \right),\\
\therefore y&=- \frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{9}x - \frac{2}{27}+Ce^{3x}~~~(C:任意定数).\\
\end{align}

【補足】 瞬間部分積分

最後の式の部分積分は，俗に言う瞬間部分積分と呼ばれるもので暗算しています．
（まともに計算をしても良いのですが，$\LaTeX$ で書くのが面倒だったのもあります．）

\begin{align}
\int f(x)g(x)\mathrm{d}x &= f^{(0)}g^{(-1)}-f^{(1)}g^{(-2)}+f^{(2)}g^{(-3)}-f^{(4)}g^{(-4)}+\cdots\\

\int x^2\times e^{-3x}\mathrm{d}x &=- \frac{1}{3}x^2e^{-3x} - \frac{2}{9}xe^{-3x} - \frac{2}{27}e^{-3x} +C
\end{align}

詳しくは，ヨビノリさんの動画をご参照ください．

【参考】 Wolframalpha

非常に便利なので皆さん積極的に使っていきましょう．