なんとなく脳トレがてら1日1問解説しようと思っただけです．飽きたらやめます．
これを執筆している本日は日曜日ということで，休憩回です．ちょっと簡単すぎるかもしれませんが，ご了承ください．
問題
微分方程式，
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left( \dfrac{y}{x} \right),
において， $u=\dfrac{y}{x}$ とおくことで，
x=C\exp\left( \displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}u}{f(u)-u} \right)~~~(C\neq 0),
となることを示せ．なお， $x\neq 0, ~f(u)\neq u$ とする．
ポイント
-
$\exp(x)$ とは，$e^x$ のことです．
-
$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left( \dfrac{y}{x} \right)$ の形の微分方程式は同次形と呼ばれます．
- 同次形については，ヨビノリさんの動画もご参照ください．
- $u$ は $x$ についての関数であることに注意してください．
発想
「示せ」と言われると「何から始めたらいいかわからない」状態になりますよね．
今回の問題を初見で解こうとした際の，とっかかりの発想は次のとおりです．
- 「示せ」と言われている対象が $x$ と $u$ だけで構成されているので，「$y$ を無くせばいいんだな」と予想できます．
- "$u=\dfrac{y}{x}$ とおくことで" と問題文側の司令がありますから，一旦右辺が $f(u)$ になることはわかります．
- 上記より，与式は $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(u),$ と変形できますが，$u, y, x$ と文字が3つ並び，なんだか余計難しくなったように思えます．
- ここで思考が止まっては勿体ないです．どうなるかはわかりませんが，一旦は「微分方程式を $u$ と $x$ だけの式にできないか？」に集中します．
- 右辺はバッチリなので，左辺 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ を頑張って $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ で置き換えることを考えます． $u=\dfrac{y}{x}$ という関係がありましたから，$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=...$ を作るために「$y=ux$ の両辺を $x$ で微分してみようかな」と手が動けばベストです．
解説
$u=\dfrac{y}{x}$ とおくと $y=ux$ です．
ここで，両辺を $x$ で微分すると（$u$ は $x$ の関数であることに注意しましょう），
\begin{align*}
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\times x + u\times 1=x\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} + u,
\end{align*}
が得られます．ここで，積の微分 $\left(f(x)g(x)\right)^\prime = f(x)^{\prime}g(x)+f(x)g(x)^{\prime}$ を用いました．
これらを，問題文で与えられた微分方程式に代入して，
\begin{align*}
x\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} + u&=f(u),\\
\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}&=\dfrac{f(u)-u}{x},
\end{align*}
と変形できます．また，問題文より $x\neq 0$ ですから，$x$ は分母にあって問題ありません．
さて，得られた式は $x$ と $u$ についての変数分離形です．問題文より， $f(u)\neq u$ ですから，左辺に $u$ ，右辺に $x$ をまるごと持っていき， $x$ で積分を行いましょう．
\begin{align*}
\dfrac{1}{f(u)-u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}&=\dfrac{1}{x},\\
\int\dfrac{1}{f(u)-u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x&=\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x,\\
\int\dfrac{1}{f(u)-u}\mathrm{d}u&=\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x,\\
\int\dfrac{1}{f(u)-u}\mathrm{d}u&=\log|~x~| + C_1~~~(C_1: 任意定数),\\
\log|~x~| &= \int\dfrac{1}{f(u)-u}\mathrm{d}u - C_1,\\
|~x~|&= \exp\left(\int\dfrac{1}{f(u)-u}\mathrm{d}u - C_1\right),\\
|~x~|&= \exp(-C_1)\times\exp\left(\int\dfrac{1}{f(u)-u}\mathrm{d}u\right),\\
x&= \pm\exp(-C_1)\times\exp\left(\int\dfrac{1}{f(u)-u}\mathrm{d}u\right),\\
x&= C\exp\left(\int\dfrac{1}{f(u)-u}\mathrm{d}u\right)~~~(C\neq 0).\\
\end{align*}
解答は以上です．
少しわかりにくいのは，$\exp(a+b) = \exp(a)\times\exp(b)$ の部分と，$C = \pm\exp(-C_1)\neq 0$ の部分でしょうか．
前者は，指数法則 $e^{a+b}=e^a\times e^b$ と全く同じ意味です．$e^{\int\frac{1}{f(u)-u}\mathrm{d}u}$ と書くと小さくて読みにくいので，横につらーっと書く表記法を用いております．
後者は，$y=\pm e^{-x}$ のグラフが， $y=0$ に漸近線をもつことを意味しております．つまり，$x$ が任意の実数をとるとき， $y=\pm e^{-x}$ は $y=0$ を通りません．
$y=\pm e^{-x}$のグラフは，以下のWolframalphaをご参照ください．