本記事は数学講座5.2 行列関数の四つの要素を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。

関数の四つの要素

関数は以下の図の集合$X$から集合$Y$への対応関係です。

この対応関係では、四つの重要概念があります、即ち関数の四つの要素です。

定義域(ていぎいき)：集合$X$
マッピング規則$f$：集合$X$での要素と集合$Y$での要素の関連関係を示す
値域：マッピング規則と定義域$X$で決まる（上記例では、${\color{red}●}$と${\color{green}●}$と${\color{yellow}●}$です。）
到達域：集合$X$

図で表すと、以下のようになります。

例

例えば、関数$f(x)=x^2,x\in\mathbb{R}$、四つの要素が

\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad定義域\quad&\quad マッピング規則 \quad&\quad 値域 \quad&\quad 到達域 \quad\\\hline\\
    \quad \mathbb{R} \quad&\quad x^2 \quad&\quad \mathbb{R}^{+}\cup\{0\} \quad&\quad \mathbb{R} \quad\\
    \\
    \hline
\end{array}

定義域

以下のを参照します。

マッピング規則

マッピング規則が何種類があります。例えば、全射・単射・全単射です。
まとめると以下の通りです。

値域

マッピング規則と定義域で、値域を決めます。例えば、関数の$f(x)=x^2$に対して：

定義域が$R$の時に、値域が$[0,+\infty)$です。
定義域が$[-2,2]$の時に、値域が$[0,4]$です。

上記のパターン2の時は、以下の図の通りです。

到達域

値域が到達域の部分集合です。

全射の時は、値域と到達域が同じです。($値域=到達域$)
全射ではない時は、値域が到達域の真完全部分集合です。($値域\subsetneqq到達域$)

列ベクトル行列関数

$m\times n$の行列$A$に対して、以下のような列ベクトル行列関数があります。

\underbrace{A}_{m\times n}\quad\underbrace{\boldsymbol{x_{}}}_{n\times 1}\quad=\quad\underbrace{\boldsymbol{y_{}}}_{m\times 1}

\Updownarrow

\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\quad&\quad&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_m\end{pmatrix}

上記列ベクトル行列関数$Ax=y$の四つ要素が：

自然な定義域が$R^n$　（$n$次元ベクトル$x$が$R^n$　の任意のベクトル）

\boldsymbol{x_{}}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}

マッピング規則が行列$A$からの乗法
値域が$Ax$
到達域が$R^m$（$m$次元ベクトル$y$が$R^m$　の任意のベクトル）

\boldsymbol{y_{}}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_m\end{pmatrix}

四つ要素を整理すると：

\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad自然な定義域\quad&\quad マッピング規則 \quad&\quad 値域 \quad&\quad 到達域 \quad\\\hline\\
    \quad \mathbb{R}^n \quad&\quad A \quad&\quad A\boldsymbol{x} \quad&\quad \mathbb{R}^m \quad\\
    \\
    \hline
\end{array}

列ベクトル行列関数の線形関数が

\mathcal{L}:\mathbb{R^n}\to \mathbb{R^m}

行ベクトル行列関数

上記の列ベクトル行列関数と似ていますので、解説を省略します。
詳細は行ベクトル行列関数ページで記載してあります。

参考情報