本記事は数学講座5.4 行列関数の単射を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。

[まとめ]単射

自然な定義域で、

\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad行列関数\quad&\quad 必要十分条件 \quad\\\hline\\
    \quad \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} \quad&\quad 列フルランク行列 \iff 単射 \quad\\
    \quad \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{y}^\mathrm{T} \quad&\quad 行フルランク行列 \iff 単射\quad\\
    \\
    \hline
\end{array}

単射

単射：定義域：値域=1:1 (唯一な解がある)
単射ではない：定義域:値域=M:1　（唯一な解ではない、複数な解がある）

定義域のランク ≥ 値域のランク


\begin{aligned}
    \boldsymbol{y}
        &=A(x_1\boldsymbol{a}_1+x_2\boldsymbol{a}_2+\cdots+x_n\boldsymbol{a}_n)\\
        \\
        &=x_1A(\boldsymbol{a}_1)+x_2A(\boldsymbol{a}_2)+\cdots+x_nA(\boldsymbol{a}_n),\quad x_{1,2,\cdots,n}\in\mathbb{R}
\end{aligned}

値域が定義域の線型空間ですので、線型独立であれば、ランクが同じで；線形従属であれば、ランクが定義域より小さいです。定義域のランク ≥ 値域のランクになります。!

定義域のランク = 値域のランク

単射の時に、定義域ランクにとって、値域のランクが変わらないです。単射ではない時に、値域のランクが落ちます。

\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad\quad&\quad 定義域ランク \quad&\quad 値域ランク \quad \quad\\\hline\\
    \quad 単射 \quad&\quad \begin{aligned}二次元空間\\三次元空間\end{aligned} \quad&\quad \begin{aligned}二次元空間\\三次元空間\end{aligned}\quad\\
    \\
    \hline
    \\
    \quad 単射ではない \quad&\quad \begin{aligned}二次元空間\\三次元空間\end{aligned} \quad&\quad \begin{aligned}1、０次元空間\quad\ \\２、１、０次元空间\end{aligned}\quad\\
    \\
    \hline
\end{array}

列ベクトル行列関数の単射

結論が、自然な定義域で、

\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad行列関数\quad&\quad 必要十分条件 \quad\\\hline\\
    \quad \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} \quad&\quad 列フルランク行列 \iff 単射 \quad\\
    \\
    \hline
\end{array}

$A$が$m\times n$の行列で、自然な定義域で、列ベクトル行列関数$Ax=y$の四つ要素が：

\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad 自然定义域\quad&\quad 映射法则 \quad&\quad 值域 \quad&\quad 到达域 \quad\\\hline\\
    \quad \mathbb{R}^n \quad&\quad \boldsymbol{A} \quad&\quad colsp(\boldsymbol{A}) \quad&\quad \mathbb{R}^m \quad\\
    \\
    \hline
\end{array}

単射時、$rank\Big(colsp(\boldsymbol{A})\Big)=n$、$A$が$m\times n$の行列、だから：

rank\left(colsp(\boldsymbol{A})\right)=n\iff \boldsymbol{A}\ \text{が列フルランク}\iff \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\ \text{が単射になります}

例1: $A$が列フルランク行列（定義域ランク = 値域ランク）：
例2: $A$が列フルランク行列ではない（定義域ランク > 値域ランク）：

行ベクトル行列関数の単射

上記列ベクトル行列関数の単射と同じですので、こちらで省略します。

例題：

以下の線型方程式系では、解が唯一かどうか？

\begin{cases}
    2x_1+4x_2=6\\
    3x_1+6x_2=9
\end{cases}

唯一な解であるかを判断するために、$Ax=y$での$A$が列フルランクがどうかで決めます。

\begin{cases}
    2x_1+4x_2=6\\
    3x_1+6x_2=9
\end{cases}
\implies
\underbrace{\begin{pmatrix}2&4\\3&6\end{pmatrix}}_{\Large A}\ \underbrace{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}}_{\Large\boldsymbol{x}}=\underbrace{\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}}_{\Large\boldsymbol{b}}

$A$の列ベクタル組が線形従属ですので、これが単射ではないので、唯一な解ではないです。
＊定義域のランクが２、値域ランクが１です。定義域$x$の$x_1,x_2$が任意の2つの点で、$R^2$です。
でも、$b$での二つ点が線形従属ですので、$R^1$の線になっています、こちらでは$y=1.5*x$の線です。

参考情報