本記事は数学講座2.3数列極限の性質を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。

数列の極限の一意性 (Uniqueness of the limit of a sequence)

定理（数列の極限の一意性）: もし数列${a_n}$が収束するならば、その極限は一意です。
参照：数列極限の厳密な定義

以下はその極限は一意の証明です。

有界数列 (Bounded sequence)

数列 {$a_n$} の定義について:

$\forall n\in\mathbb{Z}^+，a_{n}\le A$ である場合、この数列は上界を持つと言い、$A$を数列の上界と呼びます。
$\forall n\in\mathbb{Z}^+，a_{n}\ge B$ である場合、この数列は下界を持つと言い、$B$を数列の下界と呼びます。
$\forall n\in\mathbb{Z}^+，|a_{n}|\le M$ である場合、この数列は有界であると言い、$M$を数列の界と呼びます。

収束数列の有界性 (Boundedness of a convergent sequence)

数列 {$a_n$} が収束する場合、必ず数列 {$a_n$} は有界です。

収束　$→$　　有界
発散　$→$　　無界
有界　$→$　　収束、発散
無界　$→$　　発散

収束数列の保符号性 (Preservation of signs in a convergent sequence)

もし $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L $であり、$L > 0（または L < 0）$であるならば、$\exists N\in\mathbb{Z}^+ $であって、$\forall n > N$ に対して $a_n > 0（または a_n < 0）$となります。

部分数列 (Subsequence)

数列 {$a_n$} の定義について:
数列 {$a_n$} から任意の数を取り出し、その順序を保ちながら、且つ無限、そうして得られる数列を、元の数列 {$a_n$} の子数列と呼びます。

例えば、数列 $\displaystyle{\frac{1}{n}} $から任意の数を選び、順序を保ちながら無限に取り出すと、下記の図に示されるような数列の部分数列が得られます。

収束数列の部分数列 (Subsequence of a convergent sequence)

定理（収束数列の部分数列も収束する）
数列 {$a_n$} が$L$に収束する場合、その任意の部分数列も収束し、その極限値も$L$となります。
以下のように、元の数列及び部分数列の極限値が0です。

参照