本記事は数学講座2.1 コーシー列の極限を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。

前回の記事では、小さい長方形を使う際に、解決できない課題がありました。
コーシーは「極限」の重要な発見者であり、彼の微積分への主な貢献は、数列を導入して曲線の辺を近似するための長方形を表現することです。以下では、その詳細を見てみましょう。

放物線（ほうぶつせん）での長方形の和

例えば、以下のように、緑部分（曲辺台形(きょくへんだいけい)）の面積を解くために、小さいに長方形まで分割して、その総和を計算します。

例えば、四分割をすれば、以下の通りです、これが誤差あります。

四つの長方形の面積の総和：

\begin{aligned}
    A_4
        &=\frac{3}{4}\cdot 0^2+\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{1\cdot3}{4}\right)^2+\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{2\cdot3}{4}\right)^2+\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{3\cdot3}{4}\right)^2\\
        &=\left(\frac{3}{4}\right)^3\cdot 1^2+\left(\frac{3}{4}\right)^3\cdot 2^2+\left(\frac{3}{4}\right)^3\cdot 3^2\\
        &=\left(\frac{3}{4}\right)^3\cdot(1^2+2^2+3^2)
\end{aligned}

同じ考え方で、$n$分割しておけば、面積の総和が：


\begin{aligned}
    A_n
        &=\frac{3}{n}\cdot 0^2+\frac{3}{n}\cdot\left(\frac{1\cdot3}{n}\right)^2+\frac{3}{n}\cdot\left(\frac{2\cdot3}{n}\right)^2+\cdots+\frac{3}{n}\cdot\left(\frac{(n-1)\cdot3}{n}\right)^2\\
        &=\left(\frac{3}{n}\right)^3\cdot\Big(1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2\Big)
\end{aligned}

数列を用いた近似表現

数列定義:
もし法則に従って、ある整数$n\in\mathbb{Z^{+}}$に対して確定した実数$a_n$が対応しており、これらの実数 $a_n$ が$n$よって小さい順に並べられた列を数列（Number sequence）と呼び、簡単に {a_n} と表すことができます:

{a_n} = {a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots}

ここで、各数は数列の項（Term）と呼ばれ、第 $n$ 項 $a_n$ は数列の一般項（General term）と呼ばれます。

以上の数列を使って、長方形の面積の総和を表すなら：

\{A_n\}=\{A_1,A_2,A_3,\cdots,A_n,\cdots\}

$n$分割にする場合、

A_n=\left(\frac{3}{n}\right)^3\cdot\Big(1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2\Big)

コーシーの数列の極限

数列{$A_n$}には極限があります。

\underbrace{\lim_{n\to\infty}}_{\color{red}{n\ \text{が無限大}}}\quad\underbrace{A_n}_{\color{blue}{\text{数列の一般項}}}\quad\underbrace{=}_{\color{orange}{\text{等しい}}}\quad\underbrace{A}_{\text{曲辺台形 面積}}

数列の極限定義:
もし数列がある実数に無限に近づき、その実数との差を任意に小さくすることができる場合、その確定された実数はその数列の極限と呼ばれます。

無限大記号の説明

\begin{cases}
    \text{无穷大：}&\ \ \ \infty\\
    \text{正无穷大：}&+\infty\\
    \text{负无穷大：}&-\infty\\
\end{cases}

こちらでの$A=\lim_{n\to{\color{red}{\infty}}}A_n$、$n\in\mathbb{Z}^+$ですので、$\infty$が正無限大です。

纏め

\begin{aligned}\text{長方形の和を利用して}\ \\\text{曲辺台形を擬似する}\end{aligned}\longrightarrow \text{長方形和一般項}\ A_nを算出\longrightarrow \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}A_n=Aを利用して\quad\\\text{曲辺台形の面積Aを算出する}\ \end{aligned}

補足：
古典微积分中是通过“微分”曲型面积来求解，因此矩形的大小和个数是关键，贝克莱的问题在于若一个有限的面积可以无限的细分，那么在不存在最小单元的情况下是没法计算总面积的；
而柯西的数列思想将问题关键对准了“积”的方面，关注的是矩形面积和对于面积的逼近，这时候关于小矩形的质疑就失去了意义。古典微积分是向下求，极限微积分是向上求，后者直指最终的面积，而前者则在分解的过程中落入了求有限的无限中。

古典微積分では、微分を使用して曲線の面積を求めるため、長方形のサイズと数が重要です。ベーカリーの問題は、有限の面積を無限に細分する場合、最小単位が存在しないため、総面積を計算することができないというものです。
一方、コーシーの数列の考え方では、問題を「積」の側面に集中させ、矩形の面積に対する近似に注目します。この場合、小さな矩形に関する疑問は意味を失います。古典微積分は「下へ求める」のに対し、極限微積分は「上へ求める」ものであり、後者は最終的な面積を直接求めますが、前者は分割の過程で有限の無限の中に陥ります。

参考情報