本記事は数学講座2.15無限小の比較を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。

よくある無限小

$\sin x\sim x$
$\tan x\sim x$
$\arcsin x\sim x$
$\arctan x\sim x$
$\ln(1+x)\sim x$
$e^x-1\sim x$
$(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x$
$1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}$

無限小の比較

定義（無限小の比較）：
$\alpha と \beta $が同一の独立変数の変化過程であり、対応する局所領域で $\alpha \neq 0 $が成り立つ場合、次のように定義します：

（1）$\displaystyle\lim \frac{\beta}{\alpha}=0 $のとき、$\beta$ は $\alpha$ より高次の無限小と言います（Infinitesimal of higher order）、$\beta=o(\alpha)$ と表記します。

（2）$\displaystyle\lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty $のとき、$\beta は \alpha $より低次の無限小と言います（Infinitesimal of lower order）。

（3）$\displaystyle\lim \frac{\beta}{\alpha}=c \neq 0 $のとき、$\beta と \alpha$ は同次の無限小と言います（Infinitesimal of same order）。

（4）$\displaystyle\lim \frac{\beta}{\alpha^k}=c \neq 0, k > 0$ のとき、$\beta は \alpha$ の k 次の無限小と言います（Infinitesimal of order k）。

（5）$\displaystyle\lim \frac{\beta}{\alpha}=1 $のとき、$\beta と \alpha$ は等価な無限小と言います（Equivalent infinitesimal）、$\alpha \sim \beta $と表記します。

上記は無限小の比較 の定義です。

定理：
$\alpha$与 $\beta$为が等価無限小の条件が：
$\beta-\alpha=o(\alpha)\iff\beta\sim\alpha$

証明：

等価無限小の置き換え

定理:
$\alpha\sim \alpha_1$，$\beta\sim \beta_1$，且つ$\displaystyle \lim_{}\frac{\alpha_1}{\beta_1}$存在であれば、$\displaystyle \lim_{}\frac{\alpha}{\beta}=\displaystyle \lim_{}\frac{\alpha_1}{\beta_1}$があります。

証明：

\displaystyle \lim_{}\frac{\alpha}{\beta}=\displaystyle \lim_{}(\frac{\alpha}{\alpha_1}\cdot \frac{\alpha_1}{\beta_1} \cdot \frac{\beta_1}{\beta})=\displaystyle \lim_{}\frac{\alpha_1}{\beta_1}

等価無限小の例題

例1:

例2:

例3:

正しい方法は挟み撃ち定理の応用です：

練習

練習１:

練習2:

練習3: