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データサイエンスのための微分積分 第16回 無限小の比較

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本記事は数学講座2.15無限小の比較を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。

よくある無限小

  • $\sin x\sim x$
  • $\tan x\sim x$
  • $\arcsin x\sim x$
  • $\arctan x\sim x$
  • $\ln(1+x)\sim x$
  • $e^x-1\sim x$
  • $(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x$
  • $1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}$

無限小の比較

定義(無限小の比較):
$\alpha と \beta $が同一の独立変数の変化過程であり、対応する局所領域で $\alpha \neq 0 $が成り立つ場合、次のように定義します:

(1)$\displaystyle\lim \frac{\beta}{\alpha}=0 $のとき、$\beta$ は $\alpha$ より高次の無限小と言います(Infinitesimal of higher order)、$\beta=o(\alpha)$ と表記します。

(2)$\displaystyle\lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty $のとき、$\beta は \alpha $より低次の無限小と言います(Infinitesimal of lower order)。

(3)$\displaystyle\lim \frac{\beta}{\alpha}=c \neq 0 $のとき、$\beta と \alpha$ は同次の無限小と言います(Infinitesimal of same order)。

(4)$\displaystyle\lim \frac{\beta}{\alpha^k}=c \neq 0, k > 0$ のとき、$\beta は \alpha$ の k 次の無限小と言います(Infinitesimal of order k)。

(5)$\displaystyle\lim \frac{\beta}{\alpha}=1 $のとき、$\beta と \alpha$ は等価な無限小と言います(Equivalent infinitesimal)、$\alpha \sim \beta $と表記します。

上記は無限小の比較 の定義です。

定理:
$\alpha$与 $\beta$为が等価無限小の条件が:
$\beta-\alpha=o(\alpha)\iff\beta\sim\alpha$

証明:
image.png

等価無限小の置き換え

定理:
$\alpha\sim \alpha_1$,$\beta\sim \beta_1$,且つ$\displaystyle \lim_{}\frac{\alpha_1}{\beta_1}$存在であれば、$\displaystyle \lim_{}\frac{\alpha}{\beta}=\displaystyle \lim_{}\frac{\alpha_1}{\beta_1}$があります。

証明:

\displaystyle \lim_{}\frac{\alpha}{\beta}=\displaystyle \lim_{}(\frac{\alpha}{\alpha_1}\cdot \frac{\alpha_1}{\beta_1} \cdot \frac{\beta_1}{\beta})=\displaystyle \lim_{}\frac{\alpha_1}{\beta_1}

等価無限小の例題

例1:
image.png

例2:
image.png

例3:
image.png

正しい方法は挟み撃ち定理の応用です:
image.png

練習

練習1:
image.png

練習2:
image.png

練習3:
image.png

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