積率母関数（Moment Generating Function）
確率変数の分布を「指数関数的に圧縮」して表現し、微分によって期待値や分散などの積率（モーメント）を取り出せる関数
| 概念 | 入力 | 出力 | 意味 |
|---|---|---|---|
| 積率母関数 | 確率変数 $X$ | 関数 | 分布の情報をすべて含む生成関数（積率（モーメント）を生成） |
定義
数式表現
M_X(t) = E\left[e^{tX}\right]
連続型の場合
M_X(t)
= \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f_X(x)\,dx
離散型の場合
M_X(t)
= \sum_{x} e^{tx} P(X=x)
意味
- $e^{tX}$ の期待値
- 分布を「指数で持ち上げた形」で要約
👉 分布の特徴を1つの関数に圧縮している
モーメントとの関係
微分することで期待値や分散が取り出せる
基本性質
M_X'(t) = E[X e^{tX}]
M_X''(t) = E[X^2 e^{tX}]
t = 0 を代入
期待値
E[X] = M_X'(0)
分散
V(X) = M_X''(0) - (M_X'(0))^2
一般形
E[X^n] = M_X^{(n)}(0)
👉 n回微分するとn次モーメントが出る
代表的な分布のMGF
正規分布
X \sim N(\mu, \sigma^2)
M_X(t)
= \exp\left(
\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2
\right)
ベルヌーイ分布
X \sim Ber(p)
M_X(t)
= 1 - p + p e^t
二項分布
X \sim Bin(n,p)
M_X(t)
= (1 - p + p e^t)^n
ポアソン分布
X \sim Po(\lambda)
M_X(t)
= \exp\left(\lambda (e^t - 1)\right)
線形変換
Y = aX + b
M_Y(t)
= e^{bt} M_X(at)
意味
- 平行移動 → $e^{bt}$
- スケーリング → $t \to at$
👉 分布変換を関数で簡単に扱える
独立和の性質
X, Y が独立
M_{X+Y}(t)
= M_X(t) \cdot M_Y(t)
意味
- 足し算 → 掛け算に変換
- 分布の合成が楽になる
👉 和の分布を求める最強ツール
分布の一意性
M_X(t) = M_Y(t)
\quad \Rightarrow \quad
X \overset{d}{=} Y
👉 MGFは分布の「指紋」
PMF / PDF との違い
| 観点 | PMF / PDF | MGF |
|---|---|---|
| 正体 | 確率そのもの | 変換された関数 |
| 目的 | 確率を求める | 特徴量を取り出す |
| 計算 | 積分・総和 | 微分 |
| 和の扱い | 畳み込み（難） | 掛け算（簡単） |
| 直感性 | 高い | 抽象的 |
本質
M_X(t)=\int e^{tx} f_X(x)\,dx
👉 MGFは PDF/PMF を変換したもの
準1級での解法パターン
① MGFを求める
→ 定義 or 既知公式
（PMF/PDFを使って計算することもある）
② 微分
→ 期待値・分散を計算
（PMF/PDFなら積分だが、MGFなら微分でOK）
③ 独立和
→ MGFを掛け算
（PMF/PDFなら畳み込み → 非常に重い）
④ 分布同定
→ 既知のMGFと一致
（PMF/PDF一致より圧倒的に簡単）
使い分け
PMF / PDF を使う場面
・確率 P(X≤a) を求める
・区間確率を計算
・分布の形を見る
👉 確率を直接求めたいとき
MGF を使う場面
・期待値・分散を出す
・和の分布を求める
・分布を特定する
👉 計算を簡単にしたいとき
まとめ
| 概念 | 入力 | 出力 | 役割 |
|---|---|---|---|
| 積率母関数 | 確率変数 | 関数 | 分布を圧縮して表現 |
| n階微分 | $t=0$ | 数値 | 積率（モーメント）取得 |
| 線形変換 | $aX+b$ | 関数 | 分布変換 |
| 独立和 | 複数変数 | 関数 | 和の分布を簡単化 |
| 分布の一意性 | MGF | 判定 | 分布同定 |