[Statistics] t分布とは

Posted at 2025-09-17

概要

t分布（Student’s t-distribution）は、母分散が未知 の場合に標本平均を扱うために導入された連続確率分布です。

統計的推測（母平均の推定・検定）で特に重要になるのは、「母分散未知・標本サイズが小さい」場合です。

母集団が正規分布に従い、母分散が未知のとき、標本平均 $\bar{X}$ を使って定義される t 統計量は：

$$
T = \frac{\bar{X} - \mu}{s / \sqrt{n}}
$$

ここで：

このとき、

$$
T \sim t(n-1)
$$

となり、自由度 $n-1$ の t 分布に従います。

自由度の意味
- 標本分散 $s^2$ を計算するとき、標本平均 $\bar{X}$ を1つ消費しているため、自由に動ける値は $n-1$。
- したがって t 分布は「自由度 $n-1$」で表される。
形の特徴
- 平均 0 を中心に左右対称。
- 裾が厚い → 標本サイズが小さいときに極端な値が出やすいことを反映。
- 標本サイズ $n$ が大きくなると、$t(n-1)$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に近づく。
使い分け
- 母分散が既知なら Z 分布を使う。
- 母分散が未知なら t 分布を使う。
- $n \geq 30$ 程度なら、近似的に Z を使ってもよい。

ある製品の重量を 5 個抽出し、標本平均 $\bar{X} = 102$、標本標準偏差 $s = 5$ が得られた。
母平均 $\mu$ の 95% 信頼区間を求めよ。

t分布の自由度を決める
標本サイズは $n=5$ なので、自由度は

$$
n-1 = 4
$$
t分布表から臨界値を探す
自由度 4、両側 5%（片側 2.5%）に対応する t値は

$$
t_{4,0.025} = 2.776
$$

（画像中の表の 自由度4、上側2.5%点 が 2.776）
t統計量の不等式を書く

$$
P\left(-2.776 \leq \frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}} \leq 2.776\right) = 0.95
$$
両辺に $\frac{s}{\sqrt{n}}$ を掛け、整理する

$$
P\left(-2.776 \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \leq \bar{X} - \mu \leq 2.776 \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\right) = 0.95
$$

$$
P\left(\bar{X} - 2.776 \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X} + 2.776 \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\right) = 0.95
$$
数値を代入
- $\bar{X} = 102$
- $s = 5$
- $n=5$、よって $\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = 2.236...$
- $2.776 \times 2.236 \approx 6.2$
よって信頼区間は：

$$
\mu \in [102 - 6.2, 102 + 6.2]
= [95.8, 108.2]
$$

ある飲料の糖度の母平均が 5 であるかを検定したい。
標本サイズ $n=16$、標本平均 $\bar{X}=5.3$、標本標準偏差 $s=0.4$。
有意水準 5% で片側検定を行う。