Ⅰ. 標本調査（Sampling）
【1】抽出法の種類
| 抽出法 | 特徴 | 出題例 |
|---|---|---|
| 単純無作為抽出法 | 母集団の全要素が等確率で選ばれる | 「乱数表で標本を抽出」 |
| 系統抽出法 | 一定間隔で抽出（例：10人ごとに1人） | 「名簿から等間隔抽出」 |
| 層化抽出法 | 層（性別・地域など）ごとに無作為抽出 | 「性別ごとに抽出」 |
| 集団抽出法 | 集団単位（例：学校）を選び、その全体を調査 | 「いくつかの学校を選び全生徒調査」 |
| 多段抽出法 | 複数段階で抽出（例：地域→学校→生徒） | 「地域→学校→生徒の順で抽出」 |
【2】フィッシャーの3原則（実験計画の基礎）
| 原則 | 意味 |
|---|---|
| 無作為化 | 偏りを防ぎ外的要因を平均化 |
| 局所管理 | 同条件グループ化（ブロック化）で誤差減少 |
| 反復 | 同じ処理を複数回実施し偶然誤差を評価 |
Ⅱ. 記述統計（Descriptive Statistics）
【1】代表値・散布度
| 指標 | 定義 | 特徴 |
|---|---|---|
| 平均 | $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n}\sum X_i$ | 中心的傾向 |
| 分散 | $\displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar{X})^2$ | ばらつきの平方平均（不偏推定） |
| 標準偏差 | $s=\sqrt{s^2}$ | 単位が元のデータと同じ |
| 変動係数 | $\displaystyle CV=\frac{s}{\bar{X}}$ | 比較用の相対的ばらつき |
| 四分位範囲 | $IQR = Q_3 - Q_1$ | 中央50%の範囲 |
【2】分布の形状
| 指標 | 意味 | 解釈 |
|---|---|---|
| 歪度（Skewness） | 分布の非対称性 | $g_1>0$：右裾長い／$g_1<0$：左裾長い |
| 尖度（Kurtosis） | 分布の尖り具合 | $g_2>0$：とがっている／$g_2<0$：平ら |
【3】母集団と標本の関係
| 概念 | 数式 | 説明 |
|---|---|---|
| 母平均 | $\mu = E[X] = \frac{1}{N}\sum X_i$ | 母集団の平均 |
| 母分散 | $\sigma^2 = E[(X-\mu)^2]$ | 母集団全体のばらつき |
| 標本平均 | $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum X_i$ | 母平均の推定量 |
| 標本分散 | $s^2=\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar{X})^2$ | 不偏推定量 ($E[s^2]=\sigma^2$) |
【4】標準誤差（推定精度の指標）
$$
SE = \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
- 標本サイズが大きいほど小さい（精度が上がる）
Ⅲ. 確率（Probability）
【1】確率の基本法則
加法定理
$$
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
$$
条件付き確率
$$
P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
$$
独立性
$$
P(A\cap B)=P(A)P(B)
$$
ベイズの定理
$$
P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
$$
【2】確率変数の期待値・分散・共分散
期待値（線形性）
$$
E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c
$$
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
$$
E(XY) = E(X)E(Y)（独立なとき）
$$
分散の性質
$$
V[X] = E[X^2] - (E[X])^2
$$
$$
V(aX+b)=a^2V(X)
$$
$$
V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)
$$
$$
V(X-Y)=V(X)+V(Y)-2Cov(X,Y)
$$
共分散と相関
$$
Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]
$$
$$
\mathrm{Cov}(X,X) = E[X^2] - (E[X])^2 = V[X]
$$
$$
Cov(aX + bY, cX - dY) = Cov(aX, cX) - Cov(aX, dY) + Cov(bY, cX) - Cov(bY, dY)
$$
$$
= acV(X) - adCov(X, Y) + bcCov(X, Y) - bdV(Y)
$$
$$
Cov(X, Y) = 0
$$
$$
\rho=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}
$$
【3】代表的分布
| 分布 | 形 | 主な用途 |
|---|---|---|
| 二項分布 | $P(X=k)={nCk}p^k(1-p)^{n-k}$ | 成功回数の確率 |
| ポアソン分布 | $P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$ | 希少事象（例：事故件数） |
| 正規分布 | $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ | 標準化・近似の基礎 |
Ⅳ. 推定（Estimation）
【1】点推定
| 指標 | 式 | 備考 |
|---|---|---|
| 母平均の推定量 | $\bar{X}$ | 不偏推定量 |
| 母分散の推定量 | $s^2$ | 不偏推定量 |
| 母比率の推定量 | $\hat{p}=X/n$ | 標本比率 |
【2】区間推定（信頼区間）
| 対象 | 信頼区間 | 分布 |
|---|---|---|
| 母平均（母分散既知） | $\displaystyle \bar{X}\pm Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ | 標準正規分布 |
| 母平均（母分散未知） | $\displaystyle \bar{X}\pm t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}$ | t分布（自由度$n-1$） |
| 母比率 | $\displaystyle \hat{p}\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ | 標準正規分布 |
【補足】臨界値（Critical Value）の定義
$Z_{\alpha/2}$・$t_{\alpha/2}$ は、
有意水準 $\alpha$ において 両側検定で上側確率が $\alpha/2$ となる点（臨界値）を意味する。
分布表から求めることで、信頼区間の幅を決定する。
| 分布 | 記号 | 有意水準 $\alpha=0.05$ の場合 | 備考 |
|---|---|---|---|
| 標準正規分布 | $Z_{\alpha/2}$ | $Z_{0.025}=1.96$ | 標本数が十分大きい場合や母分散既知の場合に使用 |
| t分布（自由度10） | $t_{\alpha/2,\nu}$ | $t_{0.025,10}=2.228$ | 標本数が小さく母分散未知の場合に使用 |
【補足】信頼区間と有意水準の関係（両側検定）
信頼区間と有意水準の関係は次の通りです：
| 信頼水準 | 有意水準 $\alpha$ | 両側の端（片側確率 $\alpha/2$） | 標準正規分布の臨界値（$Z_{\alpha/2}$） | 意味 |
|---|---|---|---|---|
| 90% | 0.10 | 0.05 | 1.645 | 両側5%ずつを除いた中心90%の範囲 |
| 95% | 0.05 | 0.025 | 1.96 | 両側2.5%ずつを除いた中心95%の範囲 |
| 99% | 0.01 | 0.005 | 2.576 | 両側0.5%ずつを除いた中心99%の範囲 |
【補足】信頼区間を求める式（一般形）
$$
\boxed{
\text{推定値} \pm (\text{臨界値}) \times (\text{標準誤差})
}
$$
例：標本平均や回帰係数の90%信頼区間では、
$$
\hat{\theta} \pm 1.645 \times SE(\hat{\theta})
$$
または、母分散未知・小標本では
$$
\hat{\theta} \pm t_{1-\alpha/2,\nu} \times SE(\hat{\theta})
$$
Ⅴ. 検定（Hypothesis Testing）
【1】検定の流れ
【1.1】検定統計量を用いる場合
手順
- 検定統計量（t値・χ²値・F値など）を計算する
- 自由度と有意水準 α から 臨界値 を分布表で調べる
- 検定統計量と臨界値を比較する
棄却条件
| 検定の種類 | 棄却条件（帰無仮説を棄却する場合） |
|---|---|
| t検定 | $| t | > t_{α/2, ν}$ |
| χ²検定 | $χ² > χ²_{α, ν}$ |
| F検定 | $F > F_{α, ν_1, ν_2}$ |
【1.2】P値を用いる場合
手順
- 検定統計量（t, χ², Fなど）を求める
- その値に対応する p値（片側または両側の確率） を計算する
- 設定した有意水準 α と比較する
棄却条件
| 条件 | 意味 |
|---|---|
| p値 < α | 「これほど極端な値は確率的に滅多に起きない」→ 帰無仮説を棄却（有意） |
| p値 ≥ α | 「この程度の値は普通に起こりうる」→ 帰無仮説を棄却できない（有意でない） |
【2】母平均の検定
| 条件 | 検定統計量 | 分布 |
|---|---|---|
| 母分散既知 | $Z=\dfrac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ | $N(0,1)$ |
| 母分散未知 | $t=\dfrac{\bar{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$ | $t(n-1)$ |
【3】母平均の差の検定
| 条件 | 検定統計量 | 分布 |
|---|---|---|
| 母分散既知 | $\displaystyle Z=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}$ | 標準正規分布 $N(0,1)$ |
| 母分散未知（Welch） | $\displaystyle t=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}}$ | $t(\nu)$分布（Welchの自由度） |
| 母分散未知・等分散（Student） | $\displaystyle t=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}$ ただし $\displaystyle s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$ |
$t(n_1+n_2-2)$ |
| 母分散未知・等分散（Student）展開形 | $\displaystyle t=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{\sqrt{\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)\frac{\sum(X_1i-\bar{X}_1)^2+\sum({X}_2i-\bar{X}_2)^2}{n_1+n_2-2}}}$ | $t(n_1+n_2-2)$ |
【4】母比率の検定
| 種類 | 検定統計量 | 分布 |
|---|---|---|
| 1標本比率のZ検定 | $Z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$ | $N(0,1)$ |
【5】母比率の差の検定
| 種類 | 検定統計量 | 分布 |
|---|---|---|
| 2標本比率のZ検定 | $Z=\dfrac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)/n_1+\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)/n_2}}$ | $N(0,1)$ |
【5.1】信頼区間による判定
2つの母比率の差に対する $(1-\alpha)\times100%$ 信頼区間は次の式で表される：
$$
(\hat{p}_1 - \hat{p}*2)
\pm
Z _{\alpha/2}
\sqrt{
\frac{\hat{p}_1(1 - \hat{p}_1)}{n_1}
+
\frac{\hat{p}_2(1 - \hat{p}_2)}{n_2}
}
$$
ここで、
$Z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の上側確率 $\alpha/2$ に対応する値。
例：95%信頼区間なら $Z_{0.025}=1.96$。
【5.2】判定基準（信頼区間による帰無仮説の判断）
| 信頼区間 | 解釈 | 検定結果 |
|---|---|---|
| 0 を含む | 「2群の比率に有意な差がない可能性を否定できない」 | 帰無仮説を棄却しない |
| 0 を含まない | 「2群の比率に有意な差がある」 | 帰無仮説を棄却する |
【5.3】検定のまとめ
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 用途 | 2群（例：男女、地域AとB）の母比率が等しいかを検定 |
| 帰無仮説 | $H_0 : p_1 = p_2$ |
| 対立仮説 | $H_1 : p_1 \neq p_2$（両側）または $p_1 > p_2$, $p_1 < p_2$（片側） |
| 検定統計量 | $Z=\dfrac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)/n_1+\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)/n_2}}$ |
| 判定基準 | 信頼区間が 0 を含まなければ帰無仮説を棄却 |
| 分布 | 標準正規分布 $N(0,1)$ |
| 有意水準例 | $\alpha=0.05$（95%信頼区間 → $Z_{0.025}=1.96$） |
【6】分散の検定
| 種類 | 検定統計量 | 分布 |
|---|---|---|
| 1標本分散のχ²検定 | $\displaystyle \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$ | $\chi^2(n-1)$ |
【6.1】検定の目的
1つの標本が得られたとき、その母集団の分散が既知の値（または仮定された値）と一致するかどうかを検定する。
すなわち：
$$
H_0 : \sigma^2 = \sigma_0^2
\quad \text{vs.} \quad
H_1 : \sigma^2 \neq \sigma_0^2
$$
を検証する。
この検定は「母分散の検定」または「適合度の検定（1標本の分散検定）」と呼ばれる。
【6.2】検定統計量
標本分散 ( s^2 ) を用いて、次のように定義する：
$$
\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}
$$
帰無仮説 ( H_0 ) が真のとき、標本分散は母分散に比例して分布し、
$$
\chi^2 \sim \chi^2(n-1)
$$
に従う。
ここで、自由度 ( $n-1$ ) は標本平均の推定に1自由度を使用するため。
【6.3】信頼区間による判定（母分散の区間推定）
有意水準 ( $\alpha$ ) の両側検定において、母分散の $(1-\alpha)\times100%$ 信頼区間は次の式で表される：
$$
\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}
$$
ここで、( $\chi^2_{\alpha/2}$ ) および ( $\chi^2_{1-\alpha/2}$ ) は、それぞれ上側・下側の臨界値。
【6.4】棄却域による判定（両側検定）
有意水準 ( $\alpha$ ) のもとで、
次の範囲に χ²値が入っていれば帰無仮説を棄却しない：
$$
\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)
< \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} <
\chi^2_{\alpha/2}(n-1)
$$
一方、次のいずれかの場合には帰無仮説を棄却する：
$$
\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} \le \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)
\quad \text{または} \quad
\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} \ge \chi^2_{\alpha/2}(n-1)
$$
【6.5】判定基準
| χ²値の位置関係 | 解釈 | 検定結果 |
|---|---|---|
| $\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) < \chi^2 < \chi^2_{\alpha/2}(n-1)$ | 「母分散が仮定値と有意に異ならない可能性を否定できない」 | 帰無仮説を棄却しない |
| $\chi^2 \le \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$ または $\chi^2 \ge \chi^2_{\alpha/2}(n-1)$ | 「母分散が仮定値と有意に異なる」 | 帰無仮説を棄却する |
【6.6】検定のまとめ
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 用途 | 1群の母分散が既知または仮定された値に等しいかを検定する（ばらつきの大きさの検定） |
| 帰無仮説 | $H_0 : \sigma^2 = \sigma_0^2$ |
| 対立仮説 | $H_1 : \sigma^2 \neq \sigma_0^2$（両側）または $H_1 : \sigma^2 > \sigma_0^2$, $H_1 : \sigma^2 < \sigma_0^2$（片側） |
| 検定統計量 | $\displaystyle \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$ |
| 分布 | カイ二乗分布 $\chi^2(n-1)$ |
| 棄却域（両側検定） | $\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) < \chi^2 < \chi^2_{\alpha/2}(n-1)$ の範囲内なら棄却しない |
| 判定基準 | 棄却域の外側にχ²値があれば帰無仮説を棄却 |
| 有意水準例 | $\alpha=0.05$（95%信頼区間 → $\chi^2_{0.025}, \chi^2_{0.975}$ を使用） |
【7】分散の検定（適合度の検定）
| 種類 | 検定統計量 | 分布 |
|---|---|---|
| 適合度のχ²検定 | $\displaystyle \chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ | $\chi^2(k - 1 - c)$ |
【7.1】検定の目的
観測度数 ( $O_i$ ) が理論的に期待される度数 ( $E_i$ ) に従っているかを検定する。
（例：サイコロの出目が均等か、観測値が二項分布やポアソン分布に適合しているか、など）
$$
H_0 : O_i \text{ は } E_i \text{ に従う（理論分布に適合する）}
$$
【7.2】検定統計量
$$
\chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}
$$
ここで：
- ( $O_i$ )：観測度数
- ( $E_i$ )：理論分布に基づく期待度数
- ( $k$ )：区分の数
- ( $c$ )：推定した母数の数（例：正規分布なら平均・分散の2つ）
したがって自由度は：
$$
\text{df} = k - 1 - c
$$
【7.3】棄却域による判定
有意水準 ( $\alpha$ ) のもとで：
$$
\chi^2 < \chi^2_{\alpha}(k - 1 - c)
$$
であれば帰無仮説を棄却しない。
逆に：
$$
\chi^2 \ge \chi^2_{\alpha}(k - 1 - c)
$$
であれば帰無仮説を棄却する。
【7.4】判定基準
| χ²値と臨界値の関係 | 解釈 | 検定結果 |
|---|---|---|
| $\chi^2 < \chi^2_{\alpha}(k - 1 - c)$ | 理論分布と観測分布のズレは偶然の範囲内 | 帰無仮説を棄却しない |
| $\chi^2 \ge \chi^2_{\alpha}(k - 1 - c)$ | 理論分布と観測分布に有意な差がある | 帰無仮説を棄却する |
【7.5】検定のまとめ
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 用途 | 観測データが理論分布に適合しているかを検定 |
| 帰無仮説 | $H_0 : O_i = E_i$（観測度数は理論値と一致） |
| 対立仮説 | $H_1 : O_i \neq E_i$（観測度数は理論値と異なる） |
| 検定統計量 | $\chi^2 = \sum_{i=1}^k \dfrac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ |
| 分布 | カイ二乗分布 $\chi^2(k - 1 - c)$ |
| 棄却域 | $\chi^2 \ge \chi^2_{\alpha}$ なら帰無仮説を棄却 |
| 有意水準例 | $\alpha = 0.05$（自由度 $k - 1 - c$） |
【8】分散の差の検定（等分散性の検定）
| 種類 | 検定統計量 | 分布 |
|---|---|---|
| 2標本分散のF検定 | $\displaystyle F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$ | $F(n_1-1,;n_2-1)$ |
【8.1】検定の目的
2つの母分散が等しいかどうかを検定する。
すなわち、
$$
H_0 : \sigma_1^2 = \sigma_2^2
\quad \text{vs.} \quad
H_1 : \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2
$$
を検証する。
この検定は 「等分散性の検定」 と呼ばれ、
「分散の差の検定」とほぼ同義と考えてよい。
【8.2】検定統計量
標本分散の比を用いて次のように定義する：
$$
F = \frac{s_1^2}{s_2^2}
$$
帰無仮説 $H_0$ が真のとき、
$$
F \sim F(n_1 - 1,; n_2 - 1)
$$
に従う。
【8.3】信頼区間による判定（母分散比の区間推定）
有意水準 $\alpha$ の両側検定においては、次の範囲にF値があれば帰無仮説を棄却しない：
$$
F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)
< F <
F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)
$$
一方、次のいずれかの条件を満たす場合には帰無仮説を棄却する：
$$
F \le F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)
\quad \text{または} \quad
F \ge F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)
$$
ただし、F分布は非対称であるため、次の関係が成り立つ：
$$
F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)=
\frac{1}{F_{\alpha/2}(n_2-1, n_1-1)}
$$
【8.4】判定基準（信頼区間または棄却域による判断）
| F値の位置関係 | 解釈 | 検定結果 |
|---|---|---|
| $F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1) < $ $F < $ $F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)$ |
「2群の分散に有意な差がない可能性を否定できない」 | 帰無仮説を棄却しない |
| $F \le F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)$ または $F \ge F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)$ |
「2群の分散に有意な差がある」 | 帰無仮説を棄却する |
【8.5】検定のまとめ
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 用途 | 2群の母分散が等しい（等分散）かを検定する |
| 帰無仮説 | $H_0 : \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ |
| 対立仮説 | $H_1 : \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$（両側）または $H_1 : \sigma_1^2 > \sigma_2^2$, $H_1 : \sigma_1^2 < \sigma_2^2$（片側） |
| 検定統計量 | $F = \dfrac{s_1^2}{s_2^2}$（$s_1^2 \ge s_2^2$ とする） |
| 分布 | F分布 $F(n_1-1, n_2-1)$ |
| 棄却域（両側検定） | $F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1) < F < F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)$ の範囲内なら棄却しない （ただし $F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)=1/F_{\alpha/2}(n_2-1,n_1-1)$） |
| 判定基準 | 棄却域の外側にF値があれば帰無仮説を棄却 |
| 有意水準例 | $\alpha=0.05$（95%信頼区間 → $F_{0.025}, F_{0.975}$ を使用） |
【9】代表的な分布と関係
| 分布 | 定義 |
|---|---|
| χ²分布 | $\chi^2=\sum Z_i^2$ |
| t分布 | $t=\dfrac{Z}{\sqrt{U/\nu}}$ |
| F分布 | $F=\dfrac{(U_1/\nu_1)}{(U_2/\nu_2)}$ |
| 関係式 | $Z^2 \sim \chi^2(1)$, $\dfrac{\chi^2/m}{\chi^2/n} \sim F(m,n)$ |
【10】p値の定義
帰無仮説が正しいと仮定したとき、観測された検定統計量以上に極端な値が出る確率。
【11】検定の精度評価（ROC曲線と検出力）
| 概念 | 意味 | ROCとの関係 | 帰無仮説との関係 |
|---|---|---|---|
| 偽陽性率 (FPR) | 陰性を誤って陽性と判断する確率（＝1−特異度） | ROC曲線のX軸 | 帰無仮説が真なのに誤って棄却（第Ⅰ種の過誤α） |
| 真陽性率 (TPR) | 陽性を正しく陽性と判断する確率（＝感度） | ROC曲線のY軸 | 帰無仮説が偽のときに正しく棄却（検出力1−β） |
| 第Ⅰ種の過誤 (α) | 実際は陰性なのに「陽性」と誤る確率 | FPRに対応 | 帰無仮説が真のときに誤って棄却 |
| 第Ⅱ種の過誤 (β) | 実際は陽性なのに「陰性」と誤る確率 | 1−TPRに対応 | 帰無仮説が偽のときに棄却しない誤り |
| ROC曲線 | 閾値を変化させたときの (FPR, TPR) の関係 | 有意水準αと検出力1−βの関係を可視化 | 検定の「判定閾値」を変化させた場合の性能 |
| AUC | ROC曲線下の面積（検定性能の総合指標） | AUC=1：完全識別 0.5：ランダム |
帰無仮説を適切に棄却できる能力（検出力） |
| 完全識別線 | 誤判定ゼロの理想的モデル | 左上に張り付く曲線（TPR=1, FPR=0） | 理想的な検定（α=0, β=0） |
【11.1】ROC曲線の軸の調整
ROC曲線は通常、
横軸を 偽陽性率（FPR = α）、縦軸を 真陽性率（TPR = 1−β） として表される：
$$
(x, y) = (\alpha, 1 - \beta)
$$
このとき、軸を入れ替えて
横軸に 偽陰性率（β）、縦軸に 真陰性率（1−α） をとると：
$$
(x', y') = (\beta, 1 - \alpha)
$$
となる。
この2つの座標系には次の関係がある：
$$
(x', y') = (1 - y, 1 - x)
$$
つまり、ROC曲線は 直線 ( y = 1 - x ) に対して線対称となる。
Ⅵ. 回帰・相関（Regression & Correlation）
【1】共分散・相関係数
$$
Cov(X,Y)=\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})
$$
$$
r=\frac{Cov(X,Y)}{s_Xs_Y}
$$
- $r=1$：完全正の相関
- $r=0$：相関なし
- $r=-1$：完全負の相関
【2】回帰直線（最小二乗法）
$$
\hat{Y}=a+bX
$$
$$
b=\frac{Cov(X,Y)}{V(X)},\quad a=\bar{Y}-b\bar{X}
$$
【3】決定係数
$$
R^2 = r^2
$$
- 1に近いほど回帰の当てはまりが良い。
- 「説明変数が目的変数をどの程度説明しているか」の指標。
【4】単回帰係数の検定（傾きの有意性の検定）
【4.1】検定の目的
回帰直線の傾き（$b$）が 0（＝XとYに関係がない）かどうかを検定する。
$$
H_0 : \beta_1 = 0
\quad \text{vs} \quad
H_1 : \beta_1 \ne 0
$$
【4.2】検定統計量
$$
t = \frac{b - 0}{SE(b)}
$$
ここで、
- $b$：標本から得られた回帰係数（傾きの推定値）
- $SE(b)$：傾きの標準誤差
このとき、
$$
t \sim t(n - 2)
$$
（自由度は「データ数 − 回帰に使った係数の数」＝$n - 2$）
【4.3】棄却基準と解釈
| 判定基準 | 解釈 | 検定結果 |
|---|---|---|
| $ | t | < t_{\alpha/2, n-2}$ | 傾きに有意差なし | 帰無仮説を棄却しない |
| $ | t | \ge t_{\alpha/2, n-2}$ | 傾きに有意差あり（XとYに線形関係あり） | 帰無仮説を棄却する |
【4.4】例題形式（今回のようなケース）
傾きの推定値 $b = -0.14510$
標準誤差 $SE(b) = 0.02916$
標本サイズ $n = 26$
検定統計量：
$$
t = \frac{-0.14510}{0.02916} = -4.98
$$
自由度：
$$
df = n - p(説明変数の数) - 1 = 24
$$
したがって、
$$
t = -4.98 \sim t(24)
$$
有意水準5%（両側）の臨界値 $t_{0.025, 24} \approx 2.064$ より絶対値が大きいので、
帰無仮説 $H_0: \beta_1=0$ を棄却。
【4.5】まとめ
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 検定の目的 | 回帰係数（傾き）が0かどうかを確認 |
| 帰無仮説 | $H_0: \beta_1 = 0$ |
| 対立仮説 | $H_1: \beta_1 \ne 0$ |
| 検定統計量 | $t = \dfrac{b}{SE(b)}$ |
| 分布 | t分布（自由度$n-2$） |
| 判定基準 | $|t| > t_{\alpha/2, n-2}$ なら棄却 |
| 意味 | 傾きが有意なら、説明変数XはYに有意な影響を持つ |
【5】統計ソフトウェア
単回帰モデルの式
$$
Y_i = a + bX_i + \varepsilon_i
$$
| 記号 | 名称 | 意味 |
|---|---|---|
| $Y_i$ | 目的変数（被説明変数） | (i)番目の観測における説明される値 |
| $X_i$ | 説明変数（独立変数） | (i)番目の観測における説明する値 |
| $a$ | 切片（$Intercept$） | $X=0$ のときの $Y$の理論的平均値（母パラメータ (\beta_0) の推定値） |
| $b$ | 傾き（$Slope$） | $X$ が1単位増加したときの $Y$ の平均的変化量（母パラメータ ($\beta_1$) の推定値） |
| $\varepsilon_i$ | 誤差項（$Error term$） | 回帰式で説明できない偶然的な誤差・外的要因 |
標本からの推定式（回帰直線）
標本データから最小二乗法で推定したもの：
$$
\hat{Y}_i = a + bX_i
$$
- ( $a$ ) は切片の推定値（$\hat{\beta_0}$）
- ( $b$ ) は傾きの推定値（$\hat{\beta_1}$）
- ( $\hat{Y}_i$ ) は推定値（予測値）
- ( $e_i = Y_i - \hat{Y}_i$ ) は残差（$residual$）
統計ソフトウェアの出力結果
| 区分 | 項目 | 内容・値 |
|---|---|---|
| 残差 (Residuals) |
最小値 (Min) | -33.650 |
| 第1四分位数 (1Q) | -10.471 | |
| 中央値 (Median) | -0.816 | |
| 第3四分位数 (3Q) | 8.079 | |
| 最大値 (Max) | 44.298 | |
| 回帰係数 (Coefficients) |
||
| 切片 (Intercept) |
推定値 (Estimate) = 切片$a$ | 121.052 |
| 標準誤差 (Std. Error) | 3.639 | |
| t値 (t value) | 33.26 | |
| 有意確率 (Pr(>|t|)) | < 2e-16（非常に有意） | |
| 説明変数 | 推定値 (Estimate) = 傾き$b$ | -60.263 |
| 標準誤差 (Std. Error) | 4.414 | |
| t値 (t value) | -13.65 | |
| 有意確率 (Pr(>|t|)) | < 2e-16（有意） | |
| 全体の統計量 | 残差の標準誤差 （Residual standard error） |
13.41（自由度195） |
| 重相関R² （Multiple R-squared） |
0.4868（約49%の説明力） | |
| 自由度調整済みR² （Adjusted R-squared） |
0.4861 | |
| F値（モデル全体の有意性） （F-statistic） |
186.4（自由度1と195） | |
| p値 （p-value） |
< 2.2e-16（モデル全体が有意） |
| 列 | Intercept（切片）での意味 |
|---|---|
| Estimate = 121.052 | 切片（(X=0) のときの (Y) の平均値） |
| Std. Error = 3.639 | その切片の推定精度のばらつき |
| t value = 33.26 | $t = \frac{\text{Estimate}}{\text{Std.Error}} = \frac{121.052}{3.639} = 33.26$ |
| Pr(>|t| ) < 2e-16 | 「切片＝0」ではないと強く言える（非常に有意） |
| 列 | 説明変数での意味 |
|---|---|
| Estimate = -60.263 | 傾き（Xが1増えるとYが60.26減少） |
| Std. Error = 4.414 | 傾きの推定精度のばらつき |
| t value = -13.65 | $t = \frac{\text{Estimate}}{\text{Std.Error}} = \frac{-60.263}{4.414} = -13.65$ |
| Pr(>|t| ) < 2e-16 | 傾きは0ではない → XはYに有意に影響する |
【6】信頼区間を求める式（単回帰直線）
【6.1】回帰式
$$
\hat{Y} = a + bX
$$
ここで、
- ($a$)：切片（Intercept）
- ($b$)：傾き（Slope, 回帰係数）
- ($SE(a)), (SE(b)$)：それぞれの標準誤差
【6.2】回帰係数 (b) の信頼区間
母集団の真の回帰係数 ($\beta$) に対して、
標本から推定した ($b$) の信頼区間は次のように表されます：
$$
\boxed{
b \pm t_{1-\alpha/2,\nu} \times SE(b)
}
$$
ここで：
- $t_{1-\alpha/2$,\nu}$: 自由度 $\nu=n-p(説明変数の数)-1$ の t分布に基づく臨界値
- $SE(b)$：傾きの標準誤差
- 信頼水準 90% の場合、自由度が十分大きければ ($t_{0.95} \approx 1.645$)
【6.3】切片 (a) の信頼区間
同様に、母集団の切片 ($\alpha$) に対して：
$$
\boxed{
a \pm t_{1-\alpha/2,\nu} \times SE(a)
}
$$
【6.4】分散分析表
| 要因 | 平方和 (Sum of Squares, SS) |
自由度 (df) |
平均平方 (Mean Square, MS) |
F値 (検定統計量) |
Pr(>F) |
|---|---|---|---|---|---|
| 回帰 (Regression) |
$SS_{\text{Regression}}$ | $p$=説明変数の数 | $\dfrac{SS_{\text{Regression}}}{1}$ | $\dfrac{MS_{\text{Regression}}}{MS_{\text{Residual}}}$ | $Pr$ |
| 残差 (Residual / Error) |
$SS_{\text{Residual}}$ | $n - p - 1$ | $\dfrac{SS_{\text{Residual}}}{n - 2}$ | — | — |
| 全体 (Total) |
$SS_{\text{Total}}$ | $n - 1$ | — | — | — |
【7】一元配置分散分析
【7.1】分散分析表
| 要因 | 平方和 (Sum of Squares, SS) |
自由度 (df) |
平均平方 (Mean Square, MS) |
F値 (検定統計量) |
Pr(>F) |
|---|---|---|---|---|---|
| 水準間 （Between groups） |
$SS_{\text{Between}}$ | $k-1$ | $\frac{SS_{\text{Between}}}{k-1}$ | $\frac{SS_{\text{Between}}/{k-1}}{SS_{\text{Within}}/{n-k}}$ | $Pr$ |
| 水準内 （Within groups / 残差） |
$SS_{\text{Within}}$ | $n-k$ | $\frac{SS_{\text{Within}}}{n-k}$ | — | — |
| 全体 （Total） |
$SS_{\text{Total}}$ | $n-1$ | — | — | — |
| 日本語表記 | 意味 |
|---|---|
| 水準間 | 各水準（地域など）の平均の差による変動 |
| 水準内（残差） | 各水準内のばらつき（個々の誤差） |
| 全体 | 全データのばらつき全体（＝水準間＋水準内） |
関係式の確認
（1）平方和（Sum of Squares）
| 名称 | 記号 | 定義式 | 意味 |
|---|---|---|---|
| 全体平方和（Total Sum of Squares） | $SS_{\text{Total}}$ | $ \displaystyle SS_{\text{Total}} = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij} - \bar{X}_{..})^2 $ | データ全体のばらつき |
| 水準間平方和（Between Groups） | $SS_{\text{Between}}$ | $ \displaystyle SS_{\text{Between}} = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{X}{i.} - \bar{X}{..})^2 $ | 各水準（群）の平均の違いによるばらつき |
| 水準内平方和（Within Groups / 残差） | $SS_{\text{Within}}$ | $ \displaystyle SS_{\text{Within}} = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij} - \bar{X}_{i.})^2 $ | 各群の内部でのばらつき（誤差） |
$$
\boxed{SS_{\text{Total}} = SS_{\text{Between}} + SS_{\text{Within}}}
$$
（2）自由度（Degrees of Freedom）
| 名称 | 記号 | 式 |
|---|---|---|
| 全体自由度 | $df_{\text{Total}}$ | (N - 1) |
| 水準間自由度 | $df_{\text{Between}}$ | (k - 1) |
| 水準内自由度 | $df_{\text{Within}}$ | (N - k) |
$$
\boxed{df_{\text{Total}} = df_{\text{Between}} + df_{\text{Within}}}
$$
（3）平均平方（Mean Squares）
$$
MS_{\text{Between}} = \frac{SS_{\text{Between}}}{df_{\text{Between}}}, \quad
MS_{\text{Within}} = \frac{SS_{\text{Within}}}{df_{\text{Within}}}
$$
（4）F値（検定統計量）
$$
\boxed{F = \frac{MS_{\text{Between}}}{MS_{\text{Within}}}}
$$
（5）帰無仮説と棄却条件（統計検定2級で必須）
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 帰無仮説 | すべての母平均は等しい（$H_0: \mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_k$） |
| 対立仮説 | いずれかの母平均は異なる（$H_1:$ 少なくとも1つは異なる） |
| 棄却条件 | $F_{\text{計算値}} > F_{\alpha,,k-1,,N-k}$のとき、$H_0$を棄却（有意） |