[FRM][Part1] Financial Markets and Products 10. Options / 金融市場と金融商品 10. オプション

Last updated at 2026-08-16Posted at 2026-08-14

10. Options

38 オプション市場

38.1：Option Types, Positions, and Underlying Assets / オプションの種類、ポジション、および原資産

オプションの基本

オプション（Option）：原資産をあらかじめ決めた価格で将来買う、または売る権利を与える契約。買い手には権利はあるが、行使する義務はない。
オプションは非対称な損益構造を持つ。
- 買い手：最大損失は支払ったプレミアム
- 売り手：最大利益は受け取ったプレミアム
買い手の利益は売り手の損失となるため、オプション取引は基本的にゼロサムである。

アメリカン型とヨーロピアン型

アメリカン・オプション：満期までの任意の時点で権利行使できる。
ヨーロピアン・オプション：満期時点でのみ権利行使できる。
その他の条件が同じなら、早期行使の選択肢があるため、

$$
V_{\text{American}}
\ge
V_{\text{European}}
$$

となる。

コール・オプション

コール（Call）：原資産を権利行使価格 $$X$$ で買う権利。
原資産価格が上昇するほど、コール買い手に有利。

満期時のコール買い手のペイオフは、

$$
C_T=\max(0,S_T-X)
$$

$$S_T>X$$：権利行使し、$$S_T-X$$ のペイオフ。
$$S_T\le X$$：権利行使せず、ペイオフは0。
コール売り手のペイオフは、買い手と同額・逆符号となる。

プット・オプション

プット（Put）：原資産を権利行使価格 $$X$$ で売る権利。
原資産価格が下落するほど、プット買い手に有利。

満期時のプット買い手のペイオフは、

$$
P_T=\max(0,X-S_T)
$$

$$S_T<X$$：権利行使し、$$X-S_T$$ のペイオフ。
$$S_T\ge X$$：権利行使せず、ペイオフは0。
プット売り手のペイオフは、買い手と同額・逆符号となる。

PayoffとProfitの違い

Payoff：満期時の権利行使によって得られる価値。プレミアムを考慮しない。
Profit：Payoffからオプション購入時のプレミアムを差し引いた実際の損益。

コール買い手：

$$
\text{Profit}
=\max(0,S_T-X)-C_0
$$

プット買い手：

$$
\text{Profit}
=\max(0,X-S_T)-P_0
$$

したがって、オプションが権利行使可能な状態でも、プレミアムを回収できなければ最終利益はマイナスになる。

損益分岐点

コール買い手の損益分岐点：

$$
S_T=X+C_0
$$

プット買い手の損益分岐点：

$$
S_T=X-P_0
$$

つまり、コールは権利行使価格をプレミアム分だけ上回る必要があり、プットは権利行使価格をプレミアム分だけ下回る必要がある。

マネーネス（Moneyness）

オプションが権利行使する価値のある状態かどうかを示す概念。

状態	コール	プット
ITM（In the Money）	$$S>X$$	$$S<X$$
ATM（At the Money）	$$S=X$$	$$S=X$$
OTM（Out of the Money）	$$S<X$$	$$S>X$$

本源的価値

オプションをその時点で行使した場合の価値。

コール：

$$
\max(0,S-X)
$$

プット：

$$
\max(0,X-S)
$$

基本4ポジション

ポジション	基本的な相場観	最大利益	最大損失
Long Call	上昇	理論上大きい	プレミアム
Short Call	横ばい・下落	プレミアム	非常に大きい
Long Put	下落	大きい	プレミアム
Short Put	横ばい・上昇	プレミアム	大きい

特に、オプション買いは損失がプレミアムに限定される一方、オプション売りは利益がプレミアムに限定されるという非対称性が重要。

オプションの主な原資産

株式オプション
- 一般に取引所取引・アメリカン型。
- 通常1契約は100株。
- オプション価格が$$3.60なら、契約価格は通常$$360。
株価指数オプション
- 一般にヨーロピアン型。
- 現金決済される。
- ペイオフには契約倍率を掛ける。

指数コールの場合、

$$
\text{Payoff}
=\max(0,S_T-X)
\times
\text{Contract Multiplier}
$$

例として、$$X=950$$、満期指数が956、倍率100なら、

$$
(956-950)\times100
=600
$$

となる。

ETFオプション
- 一般にアメリカン型。
- 指数オプションと異なり、ETF持分の受渡しによって決済されることが多い。

要点：Callは「買う権利」、Putは「売る権利」。Payoffはプレミアムを含まず、Profitではプレミアムを考慮する。オプション買い手は損失がプレミアムに限定される一方、売り手は受取プレミアム以上の損失を負う可能性がある。

38.2：38.2: Option Specification and Trading / オプションの仕様と取引

オプションの満期と権利行使価格

取引所上場オプションの満期日は、通常満期月の第3金曜日。
CBOEでは満期月が3つのサイクルに分かれている。
- January cycle：1月・4月・7月・10月
- February cycle：2月・5月・8月・11月
- March cycle：3月・6月・9月・12月
短期オプションとしてWeeklys、1年超～最長3年程度の長期オプションとしてLEAPSがある。
権利行使価格（Strike Price）は株価水準に応じた刻み幅で設定され、株価変動に応じて新しいストライクが追加される。
Option Class：同じ原資産・同じ種類（Call / Put）のオプションの集合。
Option Series：Classのうち、満期と権利行使価格が同じオプション。

非標準的なオプション

FLEX Option：取引所上場でありながら、権利行使価格・満期・American / European型などを一部カスタマイズできる。
Asian Option：期間中の原資産の平均価格を用いてペイオフを計算する。
Cliquet Option：一定期間ごとの上限付きリターンを累積してペイオフを決定する。

配当と株式分割

現金配当：原則としてオプションの契約条件は調整されず、価格評価で配当の影響を考慮する。
株式分割：投資家の経済的ポジションが変わらないよう、権利行使価格と対象株数が調整される。
$$b$$-for-$$a$$の株式分割では、権利行使価格は次のように調整される。

$$
X_{\text{new}}
=X_{\text{old}}
\times
\frac{a}{b}
$$

対象株数は次のように調整される。

$$
N_{\text{new}}
=N_{\text{old}}
\times
\frac{b}{a}
$$

株式配当も株式分割と同様に扱われる。

オプション取引の基本

株式オプションは通常、1契約＝原資産100株を対象とする。
したがって、表示されたオプション価格が$10なら契約価格は、

$$
10\times100
=1{,}000
$$

Market MakerはBidとAskを提示して流動性を供給し、主にBid-Ask Spreadから利益を得る。
保有しているオプションと反対の取引を行いポジションを解消することをOffsetting Tradeという。
新規ポジションが作られると**Open Interest（未決済建玉）**は増加し、権利行使されると減少する。

取引制限

Position Limit：1つの原資産について保有できるオプション契約数の上限。
Exercise Limit：連続する5営業日で権利行使できる契約数の上限。
市場操作を防ぐために設定されている。
Short CallとLong Putなど、同じ方向の価格変動から利益を得るポジションは同一方向のポジションとして扱われる。

手数料と取引コスト

オプション取引では、購入時の手数料だけでなく、
- 権利行使時
- 原資産売買時
- Bid-Ask Spread
  なども取引コストとなる。
そのため、理論上の利益と実際の手取り利益は大きく異なる場合がある。
権利行使して原資産を売買するより、オプションそのものを反対売買してポジションを閉じる方が効率的な場合もある。

証拠金

満期9か月以下のオプションは原則として信用購入できず、買い手はプレミアムを全額支払う。
Option Writerは将来の履行義務を負うため、基本的に証拠金口座が必要。
Uncovered Call：原資産を保有せずCallを売るため、損失が大きくなる可能性があり証拠金が必要。
Covered Call：原資産株式を保有した状態でCallを売るため、Uncovered Callよりリスクが低く、記事では証拠金不要とされている。

OCCの役割

**OCC（Options Clearing Corporation）**は、取引所上場オプションの清算機関。
主な役割は、
- オプションポジションの記録
- 契約履行の保証
- Clearing Memberの管理
- Option Writerへの証拠金要求
取引所上場オプションではOCCが契約履行を保証するため、記事ではデフォルトリスクはないとされる。
一方、OTCオプションにはカウンターパーティーのデフォルトリスクが存在する。

オプションの権利行使

オプションを行使すると、Broker・Clearing Member・OCCを通じてOption Writerに割り当てられる。
CallのWriter：権利行使価格で原資産を売る義務。
PutのWriter：権利行使価格で原資産を買う義務。
権利行使されると、その契約分だけOpen Interestは減少する。
満期時に取引コストを考慮してもIn-the-Moneyであるオプションは、通常Brokerによって行使される。

オプションに類似する証券

Warrant
- Call Optionに似た証券。
- 行使時に企業が新株を発行することがあり、発行済株式数が増加する可能性がある。
Employee Stock Option
- 従業員へのインセンティブとして付与される。
- Vesting Periodが設定されることがあり、通常は第三者へ譲渡できない。
Convertible Bond
- 債券をあらかじめ定められた数の普通株式へ転換できる。
- 転換されると新株が発行され、対応する社債は消滅する。

重要ポイント：オプション取引では、契約仕様だけでなく、100株単位の契約サイズ、取引コスト、証拠金、OCCによる清算・保証まで含めて理解する。特に、Option Buyerはプレミアムを支払って権利を取得し、Option Writerは将来の履行義務を負うという非対称性が、証拠金や清算制度を理解する基礎となる。

39 オプションの特性

39.1：39.1: Option Pricing Factors / オプション価格決定要因

オプション価格を決める6つの要因

オプション価格は、主に以下の6要因によって決まる。

原資産価格 $$S_0$$
行使価格 $$X$$
満期までの期間 $$T$$
無リスク金利 $$r$$
配当 $$D$$
ボラティリティ $$\sigma$$

各要因の影響を考える際は、その他の条件を一定とする。

原資産価格 $$S_0$$

コール：原資産価格が上昇すると価値が上昇。
プット：原資産価格が上昇すると価値が低下。
オプションがより**イン・ザ・マネー（ITM）**に近づくほど価値が高くなる。

$$
S_0 \uparrow
\Rightarrow
Call \uparrow,\ Put \downarrow
$$

行使価格 $$X$$

コール：行使価格が高いほど不利なため、価値は低下。
プット：行使価格が高いほど有利なため、価値は上昇。

$$
X \uparrow
\Rightarrow
Call \downarrow,\ Put \uparrow
$$

満期までの期間 $$T$$

アメリカン・オプション：満期までの期間が長いほど、行使機会や有利な価格変動の可能性が増えるため、コール・プットとも価値が上昇。
ヨーロピアン・オプション：満期日にしか行使できず、途中の配当などの影響もあるため、期間が長いほど必ず価値が高くなるとは限らない。

$$
T \uparrow
\Rightarrow
American\ Call \uparrow,\ American\ Put \uparrow
$$

無リスク金利 $$r$$

金利上昇はコールにプラス、プットにマイナス。
コールは行使価格の支払いを将来まで先送りできるため、金利が高いほどそのメリットが大きくなる。

$$
r \uparrow
\Rightarrow
Call \uparrow,\ Put \downarrow
$$

配当 $$D$$

オプション保有者は、原資産株式の配当を直接受け取れない。
配当支払いによって株価は低下するため、コールには不利、プットには有利。

$$
D \uparrow
\Rightarrow
Call \downarrow,\ Put \uparrow
$$

ボラティリティ $$\sigma$$

ボラティリティ上昇は、コール・プットの両方の価値を上昇させる。
オプション購入者の最大損失はプレミアムに限定される一方、大きく有利な方向へ価格が動いた場合の利益余地は拡大するため。

$$
\sigma \uparrow
\Rightarrow
Call \uparrow,\ Put \uparrow
$$

「Volatility is a friend to all options」
ボラティリティは、コール・プットを問わずロング・オプションの価値を高める。

各要因の影響まとめ

要因が上昇	European Call	European Put	American Call	American Put
原資産価格 $$S_0$$	＋	−	＋	−
行使価格 $$X$$	−	＋	−	＋
満期 $$T$$	?	?	＋	＋
ボラティリティ $$\sigma$$	＋	＋	＋	＋
無リスク金利 $$r$$	＋	−	＋	−
配当 $$D$$	−	＋	−	＋

重要ポイント

原資産価格と行使価格の影響は逆方向。
ボラティリティ上昇はCall・Putの両方にプラス。
配当上昇はCallにマイナス、Putにプラス。
金利上昇はCallにプラス、Putにマイナス。
満期までの期間が長くなると、Americanでは価値が上昇するが、Europeanでは必ずしもそうとは限らない。

39.2：Upper and Lower Option Pricing Bounds / オプション価格の上限と下限

オプション価格の上限・下限

オプション価格には、裁定取引が発生しないための理論上の上限・下限が存在する。
主な記号：
- $$S_0$$：現在の株価
- $$X$$：行使価格
- $$PV(X)$$：行使価格の現在価値
- $$c,C$$：European / American Call
- $$p,P$$：European / American Put

上限価格

Callは株式そのものより高くなることはない。

$$
c \leq S_0
$$

$$
C \leq S_0
$$

American Putは、最大でも行使価格 $$X$$ まで。

$$
P \leq X
$$

European Putは満期まで行使できないため、上限は行使価格の現在価値。

$$
p \leq PV(X)
$$

下限価格

配当を支払わない株式の場合、最低価格は以下となる。

オプション	最低価格	最高価格
European Call	$$\max(0,S_0-PV(X))$$	$$S_0$$
American Call	$$\max(0,S_0-PV(X))$$	$$S_0$$
European Put	$$\max(0,PV(X)-S_0)$$	$$PV(X)$$
American Put	$$\max(0,X-S_0)$$	$$X$$

European Optionでは満期まで行使できないため、将来の行使価格 $$X$$ を現在価値 $$PV(X)$$ に割り引いて考える。
American Putは今すぐ行使できるため、最低価格に $$X-S_0$$ を使用する。

Put-Call Parity

同じ行使価格・満期を持つEuropean CallとPutには、以下の関係が成立する。

$$
c+PV(X)=S_0+p
$$

これは、

Fiduciary Call：Call ＋満期に $$X$$ を受け取るリスクフリー債券
Protective Put：株式＋ Put

の満期時のペイオフが等しいことから成立する。

変形すると、各資産を他の資産から合成できる。

$$
S_0=c-p+PV(X)
$$

$$
p=c-S_0+PV(X)
$$

$$
c=S_0+p-PV(X)
$$

合成ポジションでは、＋はLong、−はShortを意味する。
Put-Call ParityはEuropean Optionについて成立する。

American Optionと早期行使

American OptionはEuropean Optionと異なり、満期前でも行使できる。

American Call（無配当株）

無配当株のAmerican Callは、通常、早期行使する合理性がない。
早期行使すると行使価格 $$X$$ を早く支払うことになり、その資金から得られる利息を失うため。

したがって、無配当株では、

$$
C=c
$$

と考えられる。

American Put

Putは十分にITMであれば、早期行使が合理的になる場合がある。
早期行使によって得た $$X-S_0$$ を運用し、利息を得られるため。

American CallとPutの価格関係

American Optionでは完全なPut-Call Parityは成立せず、以下の不等式となる。

$$
S_0-X
\leq
C-P
\leq
S_0-PV(X)
$$

この式から、American CallまたはPutの一方の価格が分かれば、もう一方の価格範囲を求められる。

配当の影響

配当が支払われると株価はその分だけ低下するため、

Callの価値は低下
Putの価値は上昇

する。

配当の現在価値を $$D$$ とすると、European Optionの下限は、

Call

$$
c
\geq
\max(0,S_0-D-PV(X))
$$

Put

$$
p
\geq
\max(0,D+PV(X)-S_0)
$$

となる。

配当を考慮したPut-Call Parityは、

$$
p+S_0
=c+D+PV(X)
$$

となる。

配当とAmerican Callの早期行使

無配当株のAmerican Callは通常早期行使しない。
ただし配当が十分大きい場合、株式を取得して配当を受け取るメリットが、行使価格を早く支払うことで失う利息を上回ることがある。
この場合、権利落ち日の直前に早期行使する可能性がある。

要点

オプション価格の上下限は、裁定取引が成立しない条件から決まる。
Callの上限は株価 $$S_0$$。
European Putの上限は $$PV(X)$$、American Putの上限は $$X$$。
European Optionでは、将来の行使価格を現在価値 $$PV(X)$$ に割り引いて考える。
European CallとPutには、

$$
c+PV(X)=S_0+p
$$

というPut-Call Parityが成立する。

無配当株のAmerican Callは通常早期行使しないが、American Putは深いITMで早期行使する場合がある。
配当増加 → Call価値低下、Put価値上昇。

40 トレーディング戦略

40.1：Protective Puts, Covered Calls, and Principal Protected Notes / プロテクティブ・プット、カバード・コール、元本保証債券

プロテクティブ・プット（Protective Put）

株式のロング + プットのロングで構成する戦略。

$$
\text{Protective Put}
=\text{Long Stock}
+
\text{Long Put}
$$

株価が下落した場合でも、プットを行使して一定価格で売却できるため、下落損失を限定できる。
一方、株価上昇時の利益は享受できるが、プット購入時のプレミアム分だけ利益が減少する。
株式に対する保険のような性質を持つため、Portfolio Insuranceとも呼ばれる。
Put-Call Parityより、

$$
S_0+p=c+PV(X)
$$

となるため、Protective PutはLong Call + 行使価格の現在価値と同じ経済的価値を持つ。

カバード・コール（Covered Call）

株式のロング + コールのショートで構成する戦略。

$$
\text{Covered Call}
=\text{Long Stock}
-\text{Call}
$$

保有株式に対してコールを売却し、オプションプレミアムを受け取る。
株価が行使価格以下であれば、コールは行使されず、プレミアムが収益となる。
株価が行使価格を超えると、株式の値上がり益とShort Callの損失が相殺されるため、利益には上限がある。
「株価は大きく上昇しない」と予想する場合に、保有株式から追加収益を得るために利用される。
プレミアムによって多少の下落損失は吸収できるが、株価下落リスクそのものは残る。

Protective PutとCovered Callの違い

戦略	構成	目的	上昇利益	下落リスク
Protective Put	Long Stock + Long Put	下落リスクの保険	維持される	限定される
Covered Call	Long Stock + Short Call	プレミアム収入の獲得	上限あり	基本的に残る

Protective Putは**「保険を買う戦略」**。
Covered Callは**「将来の上昇余地を一部売る戦略」**と考えると理解しやすい。

元本保証債券（Principal Protected Note：PPN）

PPNは、元本を確保しながら、原資産の値上がり益にも参加する商品。
基本的に、ゼロクーポン債 + コールオプションで構成される。

$$
\text{PPN}
=PV(X)+C
$$

投資額の一部で、満期時に元本相当額となるゼロクーポン債を購入する。
残りの資金でコールオプションを購入し、原資産が上昇した場合の利益を狙う。
原資産が下落してコールが無価値になっても、ゼロクーポン債が満期時に元本相当額となるため、元本が保護される。

例えば、5年後に100,000ドルとなるゼロクーポン債を年率4%で購入する場合、

$$
PV(100{,}000)
=\frac{100{,}000}{(1.04)^5}
\approx82{,}193
$$

となる。

したがって、残りの

$$
100{,}000-82{,}193
=17{,}807
$$

以下でコールを購入できれば、100,000ドル以内でPPNを構成できる。

PPNのコストと成立条件

元本保証は無料ではなく、投資家は本来得られたはずの利息収入をコール購入資金として使っている。
また、原資産から得られる配当や利息などの収入も直接受け取れない。
原資産の配当・収入が大きいほどコール価格は低くなるため、PPNを構成しやすくなる。
したがって、PPNを成立させるには、ゼロクーポン債購入後の残額以内でコールを取得できることが重要。

要点

Protective Put

$$
S+P
$$

→ 株式の上昇余地を残しつつ、プットで下落リスクを限定する。

Covered Call

$$
S-C
$$

→ 株式の上昇余地を制限する代わりに、コールプレミアムを得る。

Principal Protected Note

$$
PV(X)+C
$$

→ 債券で元本を確保し、コールで値上がり益を狙う。

Put-Call Parityより、

$$
S+P=C+PV(X)
$$

であるため、Protective Putと「債券 + Call」のポジションは理論上同じ価値を持つ。

40.2：Option Spread Strategiess / オプションスプレッド戦略

スプレッド戦略の基本

スプレッド戦略（Spread Strategy）：複数のオプションを組み合わせ、利益・損失の範囲や相場観に応じた損益構造を作る戦略。
組み合わせるオプションでは、主に以下を変える。
- 行使価格
- 満期
- またはその両方
主な戦略は、Bull / Bear Spread、Butterfly Spread、Calendar Spread、Diagonal Spread、Box Spread。

Bull Call Spread

緩やかな株価上昇を予想するときの戦略。
同じ満期のコールを用いて、
- 低い行使価格 $$X_L$$ のコールを買う
- 高い行使価格 $$X_H$$ のコールを売る
高Strikeのコールを売ることで、受取プレミアムにより初期コストを抑える。
一方、株価が $$X_H$$ を超えて上昇しても、それ以上の利益は増えないため、最大利益は限定される。

満期時の利益：

$$
\text{Profit}
=\max(0,S_T-X_L)
-\max(0,S_T-X_H)
-C_{L0}
+
C_{H0}
$$

損益分岐点：

$$
\text{Breakeven}
=X_L+C_{L0}-C_{H0}
$$

最大損失：

$$
\text{Maximum Loss}
=C_{L0}-C_{H0}
$$

最大利益：

$$
\text{Maximum Profit}
=X_H-X_L-(C_{L0}-C_{H0})
$$

Bull Call Spread = コストを抑えて上昇を狙う代わりに、上昇利益の上限を受け入れる戦略。

Bear Call Spread

株価下落または横ばいを予想するときの戦略。
Bull Call Spreadと反対に、
- 低い行使価格 $$X_L$$ のコールを売る
- 高い行使価格 $$X_H$$ のコールを買う
売ったコールのプレミアムを利益源とし、高Strikeのロング・コールによって株価急騰時の損失を限定する。
損益曲線はBull Call Spreadの上下反転になる。

Bear Put Spread

プットを利用して、株価下落を狙う戦略。
同じ満期のプットを用いて、
- 高い行使価格 $$X_H$$ のプットを買う
- 低い行使価格 $$X_L$$ のプットを売る
低Strikeのプットを売ることで初期コストを抑える代わりに、株価が大幅下落しても利益には上限がある。

満期時の利益：

$$ \text{Profit}
=\max(0,X_H-S_T)
-\max(0,X_L-S_T)
-P_{H0}
+
P_{L0}
$$

Bull / Bear Spreadでは、買ったオプションで方向性を取り、別のオプションを売ることでコストを下げる代わりに利益を限定する。

Butterfly Spread

株価が特定の価格付近に留まると予想するときの戦略。
コールを使う場合、
- 低Strike $$X_L$$ のコールを1つ買う
- 中間Strike $$X_M$$ のコールを2つ売る
- 高Strike $$X_H$$ のコールを1つ買う

$$
X_L<X_M<X_H
$$

すべて同じ満期を用いる。
株価が $$X_M$$ 付近になると最大利益。
株価が大幅上昇・大幅下落した場合は損失となるが、最大損失は限定される。
つまり、方向性ではなく低ボラティリティを予想する戦略。

満期時の利益：

$$ \text{Profit}
=\max(0,S_T-X_L)
-2\max(0,S_T-X_M)
+\max(0,S_T-X_H)
-C_{L0}
+2C_{M0}
-C_{H0}
$$

プットでも同様に、低・高Strikeを買い、中間Strikeを2つ売ることでButterfly Spreadを構築できる。

Butterfly Spread = 株価が中間Strike付近から大きく動かないことに賭ける戦略。

Calendar Spread

同じ行使価格・異なる満期のオプションを組み合わせる戦略。
典型的には、
- 短期満期オプションを売る
- 長期満期オプションを買う
短期オプションの時間価値が早く減少することを利用する。
株価が行使価格付近に留まる場合に利益を得やすく、損益構造はButterfly Spreadに似る。
ただし、Butterflyのように損益が左右対称になるとは限らない。

Calendar Spread = Strikeではなく、満期の違いを利用するスプレッド。

Diagonal Spread

Calendar Spreadと似ているが、
- 行使価格が異なる
- 満期も異なる
  オプションを組み合わせる。
行使価格と満期の両方を調整できるため、Calendar Spreadより柔軟に損益構造を設計できる。

Spread	行使価格	満期
Calendar	同じ	異なる
Diagonal	異なる	異なる

Diagonal Spread = 行使価格のスプレッドと満期のスプレッドを組み合わせた戦略。

Box Spread

Bull Call SpreadとBear Put Spreadを組み合わせた裁定戦略。
Long Boxでは、
- $$X_L$$ のCallを買う
- $$X_H$$ のCallを売る
- $$X_H$$ のPutを買う
- $$X_L$$ のPutを売る
満期時の株価に関係なく、一定のPayoffになる。

$$
\text{Payoff}
=X_H-X_L
$$

したがってBox Spreadは、満期に一定額を受け取るゼロクーポン債に似たポジション。
無裁定条件では、Box Spreadの現在価格は将来Payoffの現在価値に等しくなる。

$$
\text{Box Price}
=PV(X_H-X_L)
$$

市場価格がこの理論値からずれていれば、
- Boxが割安 → Long Box
- Boxが割高 → Short Box
  による裁定取引が可能。
Box Spreadによる裁定は、ヨーロピアン・オプションを前提とする。

戦略の整理

戦略	相場観・目的	主な特徴
Bull Call Spread	緩やかな上昇	コストと最大利益を限定
Bear Call Spread	下落・横ばい	上昇時の損失を限定
Bear Put Spread	緩やかな下落	コストと最大利益を限定
Butterfly Spread	横ばい	中間Strike付近で最大利益
Calendar Spread	横ばい・時間価値	同一Strike、異なる満期
Diagonal Spread	柔軟な相場観	Strike・満期とも異なる
Box Spread	裁定	満期Payoffが一定

Bull / Bear = 相場の方向を狙う
Butterfly = 株価が動かないことを狙う
Calendar = 満期・時間価値の違いを利用する
Diagonal = 行使価格と満期の両方を調整する
Box = 価格の歪みを利用した裁定戦略

40.3：Option Combination Strategies / オプションの組み合わせ戦略

組み合わせ戦略の基本

**Combination Strategy（組み合わせ戦略）**とは、CallとPutを組み合わせて目的とする損益構造を作る戦略。
前項のSpread Strategyも複数のオプションを組み合わせる点では同じだが、分類上の違いは次のとおり。

分類	基本的な考え方
Spread Strategy	Call同士、Put同士など、主に同種のオプションの行使価格や満期の違いを利用
Combination Strategy	CallとPutを組み合わせることで損益構造を作る

Combination Strategyの代表例は、Straddle、Strangle、Strip、Strap。
これらはいずれも基本的に、原資産価格が**大きく変動すること（高いボラティリティ）**から利益を得る戦略。
違いは、上昇・下落のどちらを重視するか、CallとPutの行使価格を同じにするか異ならせるかにある。

Straddle（ストラドル）

同じ行使価格・同じ満期のCallとPutを1枚ずつ購入する。

構成は、

$$
1\text{ Call} + 1\text{ Put}
$$

「上昇するか下落するかは分からないが、価格は大きく動く」と予想するときに利用する。
上昇すればCall、下落すればPutが利益を生むため、損益曲線は左右対称のV字型になる。
方向性ではなく、主にボラティリティの大きさに賭ける戦略。

利益は、

$$
\max(0,S_T-X)+\max(0,X-S_T)-C_0-P_0
$$

で表される。

ここで、

$$S_T$$：満期時の原資産価格
$$X$$：行使価格
$$C_0$$：Callのプレミアム
$$P_0$$：Putのプレミアム

を表す。

満期時価格が行使価格と一致する場合、

$$
S_T \rightarrow X
$$

CallとPutのどちらにも行使価値がない。

このときの損失は、

$$
-C_0-P_0
$$

となる。

したがって、行使価格付近に価格が留まることが最も不利であり、最大損失は支払ったCall・Putのプレミアム合計となる。

上側の損益分岐点は、

$$
X+C_0+P_0
$$

下側の損益分岐点は、

$$
X-C_0-P_0
$$

となる。

つまり、単に価格が動くだけではなく、2つのプレミアムを回収できるほど大きく動く必要がある。

Straddle：方向は分からないが、大きな価格変動を予想する戦略

Strangle（ストラングル）

Straddleと同様にCallとPutを1枚ずつ購入するが、異なる行使価格を使用する。
通常は、CallとPutの両方をOTM（Out of the Money）で購入する。

行使価格の関係は、

$$
X_L<X_H
$$

となる。

Put：低い行使価格 $$X_L$$
Call：高い行使価格 $$X_H$$

を購入する。

利益は、

$$
\max(0,S_T-X_H)+\max(0,X_L-S_T)-C_0-P_0
$$

で表される。

満期時価格が、

$$
X_L \leq S_T \leq X_H
$$

の範囲にある場合、Call・Putのどちらも行使価値を持たない。

この範囲での損失は、

$$
-C_0-P_0
$$

となる。

そのため、損益曲線の中央部分が平らになる。

StrangleではOTMオプションを購入するため、一般的にStraddleよりプレミアムが安い。

その一方で、行使価格が現在価格から離れているため、利益を得るにはStraddleより大きな価格変動が必要になる。

	Straddle	Strangle
Call・Putの行使価格	同じ	異なる
オプション	ATM付近が一般的	OTMが一般的
初期コスト	高め	低め
必要な価格変動	比較的小さい	より大きい
損益曲線	V字型	底が平らなV字型

Strangle：Straddleより低コストだが、利益化にはより大きな値動きが必要

Strip（ストリップ）

Callを1枚、Putを2枚、同じ行使価格・同じ満期で購入する。

構成は、

$$
1\text{ Call} + 2\text{ Put}
$$

Straddleと同様に大きな値動きを予想するが、Putを多く保有するため、特に下落方向を重視する戦略。

ペイオフは、

$$
\max(0,S_T-X)
+
2\max(0,X-S_T)
$$

で表される。

価格が上昇した場合にはCall 1枚分の利益となる。

一方、価格が下落した場合にはPut 2枚分の利益となるため、同じ値幅だけ動いた場合でも下落時の利益の方が大きい。

そのため、損益曲線は、

上昇側：傾きが緩やか
下落側：傾きが急

という非対称なV字型になる。

Strip：大きな値動きを予想しつつ、Bearish（下落寄り）

Strap（ストラップ）

Stripとは反対に、Callを2枚、Putを1枚購入する。

構成は、

$$
2\text{ Call} + 1\text{ Put}
$$

大きな値動きを予想しつつ、特に上昇方向を重視する戦略。

ペイオフは、

$$
2\max(0,S_T-X)
+
\max(0,X-S_T)
$$

で表される。

価格が上昇した場合にはCall 2枚分の利益となり、下落した場合にはPut 1枚分の利益となる。

したがって損益曲線はStripとは逆に、

上昇側：傾きが急
下落側：傾きが緩やか

となる。

Strap：大きな値動きを予想しつつ、Bullish（上昇寄り）

損益曲線の見方

Combination Strategyでは、損益曲線の形とCall・Putの構成を対応させると理解しやすい。

Straddle

構成：

$$
1\text{ Call} + 1\text{ Put}
$$

CallとPutが同じ枚数なので、上下方向の利益が同じ。

→ 左右対称のV字型

Strangle

構成：

$$
1\text{ OTM Call} + 1\text{ OTM Put}
$$

CallとPutの行使価格を離している。

2つの行使価格の間ではどちらも行使されない。

→ 中央部分が平らなV字型

Strip

構成：

$$
1\text{ Call} + 2\text{ Put}
$$

Putを2枚保有する。

→ 下落側の傾きが急

Strap

構成：

$$
2\text{ Call} + 1\text{ Put}
$$

Callを2枚保有する。

→ 上昇側の傾きが急

つまり、

V字の底は支払ったプレミアムによる損失、左右の傾きはCall・Putを何枚保有しているかを表す

と考えると損益図を理解しやすい。

Spread Strategyとの違い

Spread StrategyとCombination Strategyは、どちらも複数のオプションを組み合わせて目的とする損益形状を作るという点では同じ。

大きな違いは、何を組み合わせているかにある。

Spread Strategy

基本的には同じ種類のオプションを使い、

行使価格の違い
満期の違い

を利用する。

例えばBull Call Spreadでは、

$$
+\text{Call}(X_L)
-\text{Call}(X_H)
$$

というように、異なる行使価格のCallを組み合わせる。

つまり、

Spread Strategyは、同種オプションのStrikeや満期の差を利用して損益を調整する戦略

と考えられる。

Combination Strategy

Combination Strategyでは、CallとPutという異なる種類のオプションを組み合わせる。

例えばStraddleでは、

$$
+\text{Call}(X)
+
\text{Put}(X)
$$

という構成を取る。

Callは上昇方向、Putは下落方向で価値が高まるため、

$$
\text{Call}
\rightarrow
\text{上昇方向}
$$

$$
\text{Put}
\rightarrow
\text{下落方向}
$$

という異なる性質を組み合わせて損益構造を作る。

したがって、

Spread Strategy：同種オプションのStrike・満期の違いを利用
Combination Strategy：CallとPutの性質の違いを利用

と整理できる。

4つの戦略の比較

戦略	構成	行使価格	主な相場観	損益曲線
Straddle	Call 1 + Put 1	同じ	大きく動く・方向不明	左右対称のV字
Strangle	OTM Call 1 + OTM Put 1	異なる	より大きく動く・方向不明	底が平ら
Strip	Call 1 + Put 2	同じ	大きく動く・下落寄り	下落側が急
Strap	Call 2 + Put 1	同じ	大きく動く・上昇寄り	上昇側が急

覚え方

Straddle

$$
1\text{ Call} + 1\text{ Put}
$$

→ 上下対称。方向は分からないが、大きく動けば利益

Strangle

$$
1\text{ OTM Call} + 1\text{ OTM Put}
$$

→ Straddleより安いが、より大きな値動きが必要

Strip

$$
1\text{ Call} + 2\text{ Put}
$$

→ Putが多いため、下落方向を重視

Strap

$$
2\text{ Call} + 1\text{ Put}
$$

→ Callが多いため、上昇方向を重視

Combination Strategyでは、まず、

価格が大きく動くと考えるか

を判断し、そのうえで、

方向は分からない → Straddle / Strangle
下落方向をより重視 → Strip
上昇方向をより重視 → Strap

と整理すると理解しやすい。

41 エキゾチックオプション

41.1：Exotic Option Development / エキゾチックオプションの開発

プレーン・バニラとエキゾチック・デリバティブ

プレーン・バニラ・オプション：標準化された一般的なコール・プットで、主に取引所で取引される。
エキゾチック・デリバティブ：企業や投資家の特定ニーズに合わせて契約条件をカスタマイズした商品で、主にOTC市場で取引される。
プレーン・バニラは価格・満期・ペイオフ・途中解約コストなどが比較的明確だが、エキゾチック商品は構造が複雑で、価格評価や流動性にも不確実性が生じやすい。

エキゾチック商品の開発目的

最も重要な目的は、標準的なオプションでは十分に対応できない特殊なリスクをヘッジすること。
その他にも、以下の目的で開発される。
- 税制上のニーズへの対応
- 規制上の制約への対応
- 金利・為替などの市場見通しに基づく投機

パッケージによるゼロコスト商品の構築

Package：複数の標準的なヨーロピアン・オプションを組み合わせた商品。
Bull spread、Bear spread、Calendar spread、Straddle、StrangleなどもPackageの一種。
Longポジションで支払うプレミアムを、Shortポジションで受け取るプレミアムで相殺すれば、初期費用をゼロにできる。

Zero-Cost Collar

代表例として、
- 低い行使価格 $X_L$ のPutを買う
- 高い行使価格 $X_H$ のCallを売る
ここで、

$$
X_L < X_H
$$

Putの支払プレミアムとCallの受取プレミアムが一致すれば、

$$
\text{Net Initial Cost}=0
$$

となる。

ただし、Zero-costはリスクゼロという意味ではない。
Callを売ることで、原資産価格が大きく上昇した場合の利益の一部を放棄している。

プレミアム支払いを延期する方法

オプションの初期プレミアムを満期まで延期することでも、契約開始時の支払いをゼロにできる。
現在のプレミアムを $c$、金利を $r$、期間を $T$ とすると、満期時の支払額 $A$ は、

$$
A=c(1+r)^T
$$

ヨーロピアン・コールの満期時利益は、

$$
\max(S_T-X-A,-A)
$$

となる。

初期費用がないだけで、プレミアムそのものが免除されるわけではない。
このようにプレミアムを後払いする方式をFutures-style optionと呼び、通常の前払い型はEquity-style optionと呼ばれる。

非標準型アメリカン・オプション

通常のアメリカン・オプションは、満期までいつでも行使可能。
行使可能時期や行使価格などを変更すると、Nonstandard American Optionとなる。
主にOTC市場で利用される。

Bermudan Option

特定の日だけ早期行使できるオプション。
行使自由度は、

$$
\text{European} < \text{Bermudan} < \text{American}
$$

という関係で理解できる。

European：満期時のみ
Bermudan：指定された複数の日
American：満期までいつでも

Lockout Period

オプション開始後の一定期間について、早期行使を禁止する仕組み。
例えば6か月オプションについて、最初の3か月は行使不可とするような契約。

行使価格の変更

非標準型オプションでは、行使価格を時間とともに変更することもできる。
例：

$$
X=
\begin{cases}
40 & \text{Year 1}
44 & \text{Year 2}
48 & \text{Year 3}
\end{cases}
$$

企業の将来キャッシュフローやリスク構造に合わせて契約条件を調整できる。

まとめ

エキゾチック・デリバティブは、標準商品では対応できないリスクやニーズに合わせて設計されるカスタム商品。
Zero-cost商品は、オプションのLongとShortを組み合わせてプレミアムを相殺することで構築できる。
初期費用ゼロでも、将来の利益を制限したり、支払いを延期したりしているため、経済的コストが消えるわけではない。
アメリカン・オプションも、行使可能日、Lockout期間、行使価格などを変更することで非標準型に変換できる。
前章で学んだオプションの組み合わせ戦略は、本章では投資戦略だけでなく、カスタム・デリバティブを設計する手段として利用されている。

41.2：41.2: Types of Exotic Options/ エキゾチックオプションの種類

エキゾチックオプションの基本

エキゾチックオプションは、通常のCall・Putに対して、発動条件・行使価格・参照価格・原資産などに特殊な条件を加えたオプションである。代表的なものには、Gap、Forward Start、Compound、Chooser、Barrier、Binary、Lookback、Asian、Exchange、Basket Optionなどがある。

Gap Option

2つの行使価格 (X_1) と (X_2) を持つEuropean Option。
(X_2) は主にTrigger Priceとして、オプションが発動するかを決める。
(X_1) は、発動後のペイオフ計算に使用する。
(X_1\neq X_2) の場合、Trigger到達時にペイオフが不連続に変化する。

Gap Call：

$$
\text{Payoff}
=\begin{cases}
S_T-X_1 & S_T>X_2
0 & S_T\le X_2
\end{cases}
$$

Gap Put：

$$
\text{Payoff}
=\begin{cases}
X_1-S_T & S_T<X_2
0 & S_T\ge X_2
\end{cases}
$$

「発動条件」と「ペイオフ計算の基準価格」が異なるのが特徴。

Forward Start Option

契約は現在行うが、オプション自体は将来の時点から開始する。
例：現在契約し、6か月後から開始する3か月物Call。
従業員向けインセンティブなどにも利用される。
Cliquet Optionは、複数のForward Start Optionを連結した構造。

Compound Option

Option on Option（オプションを原資産とするオプション）。
2つの行使価格と2つの行使日を持つ。

主な4種類：

Call on Call：Callを買う権利
Call on Put：Putを買う権利
Put on Call：Callを売る権利
Put on Put：Putを売る権利

通常オプションよりレバレッジが高く、Volatilityの変化にも敏感。

Chooser Option

一定期間経過後に、保有者がCallかPutのどちらにするか選択できる。
将来の価格方向が分からない場合でも、その時点で価値の高い方を選択できる。

単純なChooser Optionは、

満期 (T_2) のCall
選択時点 (T_1) のPut

の組み合わせとして考えることができる。

Barrier Option

原資産価格が期間中に一定のBarrier Priceへ到達したかどうかによって、オプションが発生・消滅する。

Knock-out：Barrierに触れると消滅
Knock-in：Barrierに触れると発生

代表的な種類：

種類	内容
Down-and-out	下側Barrierに触れると消滅
Down-and-in	下側Barrierに触れると発生
Up-and-out	上側Barrierに触れると消滅
Up-and-in	上側Barrierに触れると発生

Knock-inとKnock-outには次の関係がある。

$$
\text{Down-and-in Call}
+
\text{Down-and-out Call}
=\text{Standard Call}
$$

同様に、

$$
\text{Up-and-in Put}
+
\text{Up-and-out Put}
=\text{Standard Put}
$$

Barrier Optionでは、Volatility上昇によってBarrier到達・消滅確率が高まる場合があるため、通常オプションと異なりVegaが負になることもある。

Binary Option

満期時に条件を満たしたかどうかによって、2つの状態のどちらかのペイオフとなる。

Cash-or-Nothing

Callの場合：

$$
\text{Payoff}
=\begin{cases}
Q & S_T>X
0 & S_T\le X
\end{cases}
$$

条件成立時に一定額 (Q) を受け取る。

Asset-or-Nothing

Callの場合：

$$
\text{Payoff}
=\begin{cases}
S_T & S_T>X
0 & S_T\le X
\end{cases}
$$

条件成立時に原資産価値を受け取る。

European Callは、

$$
\text{Asset-or-Nothing Call}
-\text{Cash-or-Nothing Call}
$$

の組み合わせとして表現できる。このときCash-or-Nothingの支払額は行使価格 (X)。

Lookback Option

期間中の最高値・最安値を振り返って利用するPath-Dependent Option。

Floating Lookback Call：

$$
\text{Payoff}=S_T-S_{\min}
$$

期間中の最安値で買えたのと同じ効果を持つ。

Floating Lookback Put：

$$
\text{Payoff}=S_{\max}-S_T
$$

期間中の最高値で売れたのと同じ効果を持つ。

Fixed Lookback Call：

$$
\max(S_{\max}-X,0)
$$

Fixed Lookback Put：

$$
\max(X-S_{\min},0)
$$

保有者に有利なため、通常オプションよりPremiumが高い。また、価格を頻繁に観測するほど価値が高くなる。

Asian Option

期間中の価格の平均値を利用するオプション。

Average Price Option

Call：

$$
\max(S_{\text{avg}}-X,0)
$$

Put：

$$
\max(X-S_{\text{avg}},0)
$$

平均価格は単一時点の価格より変動が小さいため、通常オプションより安価になりやすい。

Average Strike Option

平均価格を実質的なStrikeとして使用する。

Call：

$$
\max(S_T-S_{\text{avg}},0)
$$

継続的な為替・商品価格Exposureをまとめてヘッジする場合などに有効。

Exchange Option

ある資産を別の資産へ交換する権利。
通常オプションの「AssetとCash」ではなく、「Asset AとAsset B」の交換を対象とする。
為替市場で、ある通貨を別の通貨へ交換する権利などが代表例。

Basket Option

複数の資産をまとめたBasketを原資産とするオプション。
株式、指数、通貨などを組み合わせられる。
複数Exposureを1つの取引でヘッジできるため、個別にオプションを取引するより安価になる場合がある。
原資産間の相関が高いほどBasket全体の変動が大きくなりやすく、Option Valueも高くなる。

Volatility Swap

Volatility Swapは、株価の方向ではなく、実際にどれだけ大きく価格が変動したかを取引するSwap。

概念的なPayoffは、

$$
\text{Payoff}
\propto
\sigma_{\text{realized}}
-\sigma_{\text{fixed}}
$$

となる。

Realized Volatility > Fixed Volatility：Volatility買い手の利益
Realized Volatility < Fixed Volatility：Volatility買い手の損失

日次Volatilityを年率換算するときは、

$$
\sigma_{\text{annual}}
=\sigma_{\text{daily}}\sqrt{252}
$$

を使用する。

株価が上がるか下がるかではなく、「市場がどれほど荒れるか」を取引する。

Variance Swap

Variance Swapでは、Volatilityそのものではなく、

$$
\text{Variance}=\sigma^2
$$

を取引する。

概念的には、

$$
\text{Payoff}
\propto
\sigma_{\text{realized}}^2
-\sigma_{\text{fixed}}^2
$$

となる。

VarianceはVolatilityの2乗なので、極端に大きな価格変動に対してより強く反応する。

また、Variance Swapは複数StrikeのCall・Putを適切に組み合わせることで複製できるため、Volatility SwapよりPricingとHedgingが容易である。

	Volatility Swap	Variance Swap
対象	Volatility	Variance
Exposure	(\sigma)	(\sigma^2)
Vol上昇への反応	線形	より強い
Call / Putによる複製	難しい	比較的容易

Volatility SwapがCall・Putで直接複製しにくいのは、

$$
\sigma=\sqrt{\text{Variance}}
$$

という平方根の非線形性が存在するため。Variance Exposureを作れても、その平方根であるVolatility Exposureをそのまま再現できるわけではない。

Static Option Replication

通常のOption Hedgingでは、DeltaなどのGreeksに応じてポジションを継続的に調整するDynamic Hedgingが使われる。

一方、Barrier OptionなどのExotic Optionでは、Barrier付近でOption Valueが急激に変化するため、Dynamic Hedgingが難しくなる。

そこで、

市場で取引されているPlain Vanilla Optionを組み合わせ、Exotic Optionと反対のPayoffを作る

Static Option Replicationを利用する。

Call・PutなどでReplication Portfolioを構築
基本的にはそのPortfolioを維持
Barrier到達など重要な条件が発生した場合にPortfolioを解消・再構築する

Variance Swapを複数のCall・Putから複製する考え方も、広い意味ではこのReplicationの考え方と共通している。

要点整理

Gap：Trigger PriceとPayoff計算価格が異なる
Forward Start：将来からOptionが開始
Compound：Option on Option
Chooser：後からCall / Putを選択
Barrier：Barrier到達で発生・消滅
Binary：条件成立で一定額・原資産を支払う
Lookback：期間中の最高値・最安値を利用
Asian：期間中の平均価格を利用
Exchange：Asset AとAsset Bを交換
Basket：複数資産をまとめて原資産とする
Volatility Swap：Volatilityそのものを取引
Variance Swap：Volatilityの2乗を取引し、Call・Putで比較的複製しやすい
Static Replication：Vanilla Optionの組み合わせでExotic OptionのPayoffを再現・ヘッジする

特に、Gap・Barrier・BinaryはPayoffの不連続性、Lookback・Asianは過去の価格経路に依存するPath Dependence、Variance SwapはVanilla OptionによるReplicationが可能という点が重要となる。

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