例題
【問題】ある店舗では，1日に来店する新規客の人数を $X$ 人，常連客の人数を $Y$ 人とする。
$X$ と $Y$ は独立で，それぞれ
X \sim Po(2),\quad Y \sim Po(3)
にしたがうとする。このとき，次の問いに答えなさい。
（1）$X$ の積率母関数 $M_X(t)$ を求めなさい。
（2）1日の総来店者数を
Z=X+Y
とおく。積率母関数を用いて，$Z$ の分布を求めなさい。
（3）$Z$ の期待値と分散を求めなさい。
解法
（1）$X$ の積率母関数
まず，$X \sim Po(2)$ なので，確率質量関数は
P(X=x)=e^{-2}\frac{2^x}{x!}
\quad (x=0,1,2,\dots)
です。
積率母関数の定義より，
M_X(t)=E(e^{tX})
なので，
M_X(t)
=
\sum_{x=0}^{\infty} e^{tx} P(X=x)
=
\sum_{x=0}^{\infty} e^{tx} e^{-2}\frac{2^x}{x!}
=
e^{-2}\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(2e^t)^x}{x!}
ここで，指数関数の展開
\sum_{x=0}^{\infty}\frac{a^x}{x!}=e^a
を使うと，
M_X(t)=e^{-2}e^{2e^t}
=\exp(2e^t-2)
=\exp\{2(e^t-1)\}
したがって，求める積率母関数は
M_X(t)=\exp\{2(e^t-1)\}
（2）Z=X+Y の分布
次に，$Y \sim Po(3)$ なので，同様にして
M_Y(t)=\exp\{3(e^t-1)\}
です。
ここで，$X$ と $Y$ は独立なので，和 $Z=X+Y$ の積率母関数は
M_Z(t)=M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)
となります。
したがって，
M_Z(t)
=
\exp\{2(e^t-1)\}\exp\{3(e^t-1)\}
=
\exp\{5(e^t-1)\}
となります。
これは，ポアソン分布 $Po(\lambda)$ の積率母関数
M(t)=\exp\{\lambda(e^t-1)\}
において $\lambda=5$ とした形と一致します。
よって，
Z \sim Po(5)
（3）Zの期待値と分散
（2）より，
Z \sim Po(5)
なので，ポアソン分布の性質から
E(Z)=5,\quad V(Z)=5
です。
積率母関数から直接求めてもよい
（2）で求めた
M_Z(t)=\exp\{5(e^t-1)\}
を使います。
期待値
まず1回微分すると，
M_Z'(t)=\exp\{5(e^t-1)\}\cdot 5e^t
したがって，
M_Z'(0)=\exp\{5(1-1)\}\cdot 5=5
なので，
E(Z)=M_Z'(0)=5
分散
さらに2回微分すると，
M_Z''(t)
=
\exp\{5(e^t-1)\}(5e^t)^2
+
\exp\{5(e^t-1)\}5e^t
=
\exp\{5(e^t-1)\}\left(25e^{2t}+5e^t\right)
よって，
M_Z''(0)=25+5=30
したがって，
V(Z)=M_Z''(0)-\{M_Z'(0)\}^2
=30-5^2
=30-25
=5
解法の型
パターン1：積率母関数を定義から求める
まず，
M_X(t)=E(e^{tX})
を書き，離散型なら総和，連続型なら積分で計算する。
パターン2：独立な和の分布
$X,Y$ が独立なら，
M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)
その後，得られた形を既知の積率母関数と比較して分布を特定する。
パターン3：期待値・分散を求める
積率母関数を微分して，
E(X)=M_X'(0)
V(X)=M_X''(0)-\{M_X'(0)\}^2