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もくじ(?)

はじめに

皆さん、こんにちは!この記事では、大人気のカードゲーム「ポケポケ」に登場するさまざまな確率分布について解説していきます。カードゲームで勝利を目指す上でも、確率の理解は大きな武器となります。それでは早速見ていきましょう!

ポケポケ公式サイト

カード一覧

本記事で紹介する確率分布

1. カスミ、ベロリンガ 〜 幾何分布 Geo(p)

カード効果の説明

カスミの効果:

自分の水ポケモンを1匹選ぶ。コインをウラが出るまで投げ、オモテの数ぶんの水エネルギーを自分のエネルギーゾーンから出し、そのポケモンにつける。

ベロリンガの技「れんぞくペロペロ」の効果:

ウラが出るまでコインを投げ、オモテの数×60ダメージを与える。

幾何分布との関係

これらのカードは、「ウラが出るまでコインを投げ、オモテの数」という共通の特徴があります。これは確率統計における幾何分布に対応しています。

幾何分布とは、初めて成功(この場合はコインのウラ)が出るまでの試行回数を扱う確率分布です。成功確率を p、失敗確率を q = 1 - p とすると、初めて成功するまでの失敗回数k の確率は次のように表されます:

P(X = k) = q^{k} p

今回の場合、コインを投げるので成功確率(ウラが出る確率)は p = 1/2、失敗確率(オモテが出る確率)も q = 1/2 となります。

※ウラが成功、オモテが失敗に対応することに注意。

カスミの場合

カスミの効果で得られるエネルギー枚数(オモテの数)は、幾何分布の失敗回数に対応します。

確率表

image.png

ただし、実際のゲームではエネルギーは3枚もあれば十分なことが多いため、3枚以上をまとめて考えることもあります。

まとめた確率表

image.png

ベロリンガの場合

ベロリンガのダメージ量も同様に幾何分布に従います。オモテの数に応じてダメージが増加します。

ダメージ量と確率

image.png

ベロリンガの場合も、現状では240ダメージもあれば十分なため、240ダメージ以上をまとめて考えることができます。

まとめた確率表

image.png

2. サンダーex、ガルーラ 〜 二項分布 Bin(n, p)

カード効果の説明

サンダーexの技「ハリケーンサンダー」の効果:

コインを4回投げ、オモテの数×50ダメージを与える。

ガルーラの技「ピヨピヨパンチ」の効果:

コインを2回投げ、オモテの数×30ダメージを与える。

二項分布との関係

これらのカードは、一定回数コインを投げて、そのオモテの数に応じて効果が変わります。これは二項分布に対応しています。

二項分布とは、独立した試行を n 回行い、それぞれで成功(オモテ)が起こる確率を p としたとき、成功回数 k の分布です。確率は次のように表されます:

P(X = k) = {}_n C_k \, p^k (1 - p)^{n - k}

コイン投げの場合、成功確率 p = 1/2 です。

サンダーexの場合

確率表

サンダーexの場合、n = 4 となります。

image.png

ガルーラの場合

ガルーラの場合、n = 2 となります。

確率表

image.png

3. カイリュー 〜 多項分布 Multi(n, p1, p2, ..., pk)

カード効果の説明

カイリューの技「りゅうせいぐん」の効果:

相手のポケモンがランダムに4回選ばれ、選ばれたポケモン全員に、選ばれた回数×50ダメージを与える。

多項分布との関係

カイリューの効果は、複数の対象(相手のポケモン)に対して、独立した試行を複数回行い、その結果に応じて効果が決まります。これは多項分布に対応しています。

多項分布とは、n 回の試行で、各カテゴリへの割り当て回数を扱う分布です。カテゴリ数を k、各カテゴリが選ばれる確率を ( p_1, p_2, ..., p_k ) とすると、各カテゴリが選ばれる回数 ( x_1, x_2, ..., x_k ) の同時確率は:

P(X_1 = x_1, \ldots, X_k = x_k) = \frac{n!}{x_1! x_2! \cdots x_k!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_k^{x_k}

今回の場合、相手のポケモンの数を k、試行回数を n = 4 とします。

具体例

相手のポケモンが2匹いる場合(バトル場とベンチに1匹ずつ)、各ポケモンが選ばれる確率は p_1 = p_2 = 1/2 となります。

各ポケモンへのダメージの期待値は:

E[\text{ダメージ}] = 50 \times E[\text{選ばれた回数}] = 50 \times n \times p_i

したがって、各ポケモンへのダメージの期待値は 50 × 4 × 1/2 = 100 ダメージとなります。

確率計算の例として、ポケモンAが3回選ばれ、ポケモンBが1回選ばれる確率は:

P(X_A = 3, X_B = 1) = \frac{4!}{3!1!} \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^1 = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{4}

4. 博士の研究、レッドカード 〜 超幾何分布 HGM(N, K, n)

カード効果の説明

博士の研究の効果:

自分の山札を2枚引く

レッドカードの効果:

相手の手札をすべて山札にもどす。相手は山札を3枚引く

超幾何分布との関係

山札からカードを引く行為は、カードを復元せずに引くため、超幾何分布に従います。

超幾何分布は、有限母集団から復元せずにサンプルを取る際、成功数を扱う分布です。母集団のサイズを N、成功と見なす要素の数を K、サンプルサイズを n、成功数を k とすると、確率は:

P(X = k) = \frac{{}_K C_k \, {}_{N - K} C_{n - k}}{{}_N C_n}

博士の研究の場合

例えば、山札の残りが N = 10 枚あり、その中に欲しいカード(有益札)が K = 5 枚あるとします。博士の研究で n = 2 枚引いたとき、欲しいカードを k 枚引く確率は次のようになります。

確率計算

image.png

このように超幾何分布を使って成功確率を求めることができます。

レッドカードの場合

レッドカードも同様に、相手が手札を山札に戻し、n = 3 枚引く行為は超幾何分布に従います。相手のデッキ枚数や有益札の枚数を考慮して、相手が有益札を引く確率を推測することができます。

おわりに

以上、「ポケポケ」に登場する確率分布について解説しました。カードゲームと確率統計は密接な関係があり、確率を理解することで戦略的にゲームを進めることができます。これを機に、確率統計の学習に取り組んでみてはいかがでしょうか。
(記事では紹介しなかったですが、ベイズ統計も役に立つかも?)

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