はじめに
量子力学の基本的な題材として、階段型ポテンシャルにおける波動関数の解はよく取り上げられます。
特に、ポテンシャルの右側領域で現れる係数 C が常にゼロになる理由は、
「無限遠で発散するため確率解釈が成り立たない」という説明が一般的です。
しかし、この説明は正しいものの、やや形式的で直感的な理解に乏しいと感じる方もいるでしょう。
そこで本記事では、凸型ポテンシャルを考え、その幅を無限大に取る極限を通じて
階段型ポテンシャルの解を導くという視点を紹介します。
この方法を用いると、C がゼロになることが自然に理解でき、
波動関数の振る舞いをより納得感をもって捉えることができます。
階段型ポテンシャルのＣとは
図の階段型ポテンシャルで、$0<E<V_0$の時、シュレーディンガー方程式の解は領域ごとに次のように書けます。
$x<0$の時
$$φ_L(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$$
$0\leq x$の時
$$φ_R(x)=Ce^{κx}+De^{-κx}$$
ただし$κ=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}$
こんな感じになるのですが、$$φ_R(x)=Ce^{κx}+De^{-κx}$$
のＣが０になります。このＣが０になる理由について凸型ポテンシャルを使って説明したいと思います。
凸型ポテンシャルを使った説明
階段型ポテンシャルにおける係数 C がゼロになる理由を、より直感的に理解するために図のような「有限幅の凸型ポテンシャル」を考えます。
このポテンシャルは「有限幅 a の障壁」を表しており、階段型ポテンシャルはその幅を無限大にした極限として理解できます。
波動関数の一般解
図の凸型ポテンシャルで波動関数の解は
$x<0$の時
$$φ(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$$
$0\leq x<a$の時
$$φ(x)=Ce^{κx}+De^{-κx}$$
$a\leq x$の時
$$φ(x)=Fe^{ikx}$$
ここでは左側からの入射波のみを考え、右側には進行波 $Fe^{ikx}$ が透過成分として存在します。
接続条件から得られる関係
波動関数とその微分は境界 x=0 および x=a で連続でなければなりません。この接続条件を用いて係数CとDの比を計算すると、
$$\left|\frac{C}{D}\right|=e^{-2κa}$$
という関係が得られます。
極限の考察
障壁幅 a を大きくすると、指数因子$e^{-2κa}$により$\left|\frac{C}{D}\right|$は急速にゼロへ近づきます。すなわち、
$$a→∞⇒\frac{C}{D}→０$$
となり、障壁内部の波動関数における$ Ce^{\kappa x}$ の寄与は消失します。
階段型ポテンシャルへの帰結
階段型ポテンシャルは凸型ポテンシャルの「幅 a を無限大にした極限」として理解できます。したがって、階段型ポテンシャルの右側領域での波動関数は
$$φ_R(x)=De^{-\kappa x}$$
のみが許される解となり、係数 $C$ はゼロであることが自然に理解できます。
おわりに
本記事では、階段型ポテンシャルにおける係数 C がゼロになる理由を、凸型ポテンシャルの幅を無限大に取る極限を通じて説明しました。有限幅の障壁では C の寄与は指数的に抑制され、幅が大きくなるほどその影響は消え、最終的に階段型ポテンシャルでは C=0 が自然に導かれることを確認しました。
ここで重要なのは、今回の導出に用いた接続条件の背後には「波動関数が無限遠で発散しない」という物理的条件が暗黙に含まれている点です。これは既存の説明（発散を避けるために C=0 とする）と本質的に同じ条件です。つまり、凸型ポテンシャルを用いた極限の議論は、従来の説明を別の角度から補強したものであり、両者は矛盾せず同じ物理的要請に基づいています。
このように、形式的な「発散回避」という説明と、凸型ポテンシャルの「極限操作による消失」という説明は、同じ物理的原理を異なる視点から表現したものだと理解できます。これによって、階段型ポテンシャルにおける C=0 の理由がより直感的かつ納得感をもって捉えられるでしょう。