スクリーンショットや画面録画がされたことを通知するには,そのViewControllerの中で

override func viewWillAppear(_ animated: Bool) {

        NotificationCenter.default.addObserver(self, 
        selector: #selector(didTakeScreenshot), name:                                UIApplication.userDidTakeScreenshotNotification, object: nil)
        
        NotificationCenter.default.addObserver(
            self,
            selector: #selector(didCapturedScreen),
            name: UIScreen.capturedDidChangeNotification,
            object: nil
        )
        
    }

ViewDidLoad()でも構いません。
didTakeScreenshotやdidCapturedScreen自分で決める関数であるので、例えば以下のようにします。

@objc func didTakeScreenshot() {
    print("スクリーンショット")
 }

必要に応じて通知を削除します。

override func viewWillDisappear(_ animated: Bool) {
        super.viewWillAppear(animated)
        NotificationCenter.default.removeObserver(self,name: UIApplication.userDidTakeScreenshotNotification, object: nil)
        NotificationCenter.default.removeObserver(self, name: UIScreen.capturedDidChangeNotification, object: nil)
    }