はじめまして、りょーつといいます。高専出身の大学院2年生です。もうすぐ博士課程1年生になります．研究の専門は力学や機構学ですが，Qiitaでは主に制御工学や数学に関する記事を書いています。今週は，高専に通っていた頃にお世話になった数学の先生から教わった，$n$次元球の話をまとめてみようと思います．
目次
1.はじめに
2.奇数N次元球の体積
3.ガンマ関数による一般化
4.おわりに
1. はじめに
今回はN次元球の体積を計算します．これまでにいくつかの記事を書いており，$n$次元の球の体積$V_n$が以下の漸化式で表されることを示しました．
V_n
=
\frac{2\pi r^2}{n}
V_{n-2}
\tag{1}
また，$n$が偶数であり，$n = 2k$となる場合に，$V_n = V_{2k}$が以下のように計算できることを示しました．
V_{2k}
=
\frac{\pi^k }{k!} r^{2k}
\tag{2}
今週の記事では$n$が奇数，すなわち$n = 2k - 1$の場合における$V_n$の一般解を導出します．また，ガンマ関数によって奇数/偶数関係なく，1つの式で$V_n$を表します．
2. 奇数N次元球の体積
本章では，$n$が奇数の場合における$n$次元球の体積$V_n = V_{2k-1}$を計算します．まずは傾向をつかむために(1)式を$n = 2k-1$の場合について展開してみましょう．ちょっと見づらいですが，分数を使って係数を簡略化します．
V_{2k-1}
=
\frac{2\pi r^2}{2k-1}
V_{2(k-1) - 1}
=
\frac{\pi r^2}{k-1/2}
V_{2(k-1) - 1}
\tag{3}
V_{2(k-1)-1}
=
\frac{2\pi r^2}{2(k-1)-1}
V_{2(k-2) - 1}
=
\frac{\pi r^2}{(k-1)-1/2}
V_{2(k-2) - 1}
\tag{4}
V_{2(k-2)-1}
=
\frac{\pi r^2}{(k-2)-1/2}
V_{2(k-3) - 1}
\tag{5}
\vdots
V_5
=
\frac{\pi r^2}{3 - 1/2}
V_3
\tag{6}
ここで，$V_3$は3次元球体(いわゆる球体)の体積であり，以下のように計算できます．
V_3
=
\frac{4}{3}
\pi r^3
\tag{7}
以上の(3)～(7)式の結果を1つにまとめると以下のように表されます．
V_{2k-1}
=
\frac{\pi r^2}{k-1/2}
\frac{\pi r^2}{(k - 1) -1/2}
\frac{\pi r^2}{(k - 2) -1/2}
\cdots
\frac{\pi r^2}{4 - 1/2}
\frac{\pi r^2}{3 - 1/2}
\cdot
\frac{4}{3}
\pi r^3
=
\frac{1}{k-1/2}
\frac{1}{(k - 1) -1/2}
\frac{1}{(k - 2) -1/2}
\cdots
\frac{1}{4 - 1/2}
\frac{1}{3 - 1/2}
\cdot
\frac{4}{3}
\pi^{k-1} r^{2k - 1}
\tag{8}
少し汚いですが，いちおうこれが一般解になります．次章でガンマ関数を導入し，さらに整理します．
3. ガンマ関数による一般化
本章では，(8)式の分母が階乗に似た性質を有することから，ガンマ関数を用いて主に(2)式と(8)式を一般化します．まずは(8)式を一般化しましょう．ガンマ関数の性質
\Gamma(x+1)
=
x \Gamma(x)
\tag{9}
により，以下の等式が成り立ちます．
\Gamma(k + 1/2)
=
(k - 1/2)
\Gamma(k - 1/2)
=
\big( k - 1/2 \big)
\big( (k-1) - 1/2\big)
\Gamma \big( (k-1) - 1/2 \big)
=
\big( k - 1/2 \big)
\big( (k-1) - 1/2\big)
\big( (k-2) - 1/2\big)
\Gamma \big( (k-2) - 1/2 \big)
\vdots
=
\big( k - 1/2 \big)
\big( (k-1) - 1/2\big)
\big( (k-2) - 1/2\big)
\cdots
(3 - 1/2)
\Gamma (3 - 1/2)
=
\big( k - 1/2 \big)
\big( (k-1) - 1/2\big)
\big( (k-2) - 1/2\big)
\cdots
(3 - 1/2)
(2 - 1/2)
\Gamma (2 - 1/2)
=
\big( k - 1/2 \big)
\big( (k-1) - 1/2\big)
\big( (k-2) - 1/2\big)
\cdots
(3 - 1/2)
(2 - 1/2)
(1 - 1/2)
\Gamma (1 - 1/2)
\therefore
\Gamma(k + 1/2)
=
\big( k - 1/2 \big)
\big( (k-1) - 1/2\big)
\big( (k-2) - 1/2\big)
\cdots
(3 - 1/2)
\frac{3}{4}
\Gamma (1/2)
\tag{10}
ここで，ガンマ関数$\Gamma(1/2)$が
\Gamma \bigg(\frac{1}{2} \bigg)
=
\sqrt{\pi}
\tag{11}
であることが知られているため，(9)～(11)式により，(8)式の右辺の分母部分は以下のようにガンマ関数で表現できます．
\frac{1}{k-1/2}
\frac{1}{(k - 1) -1/2}
\frac{1}{(k - 2) -1/2}
\cdots
\frac{1}{4 - 1/2}
\frac{1}{3 - 1/2}
=
\frac{1}{\Gamma(k + 1/2)}
\frac{3}{4}
\sqrt{\pi}
\tag{12}
(12)式を(8)式に代入すると，とてもシンプルに$V_{2k-1}$を表現することができます．
V_{2k - 1}
=
\frac{1}{\Gamma(k + 1/2)}
\frac{3}{4}
\sqrt{\pi}
\cdot
\frac{4}{3}
\pi^{k-1} r^{2k - 1}
=
\frac{1}{\Gamma(k + 1/2)}
\pi^{k-1/2} r^{2k - 1}
\tag{13}
ここで
n = 2k - 1
\therefore
k - 1/2
=
\frac{n}{2}
\tag{14}
であることを(13)式に代入すると
V_{2k - 1}
=
\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\big( \frac{n}{2} + 1 \big)}
r^n
\tag{15}
が得られます．とても綺麗ですね．
ちなみに(15)式は$n$が奇数であることを仮定して導出した式ですが，(15)式に$n = 2k$，すなわち偶数を代入したとしても
V_{2k}
=
\frac{\pi^{\frac{2k}{2}}}{\Gamma\big( \frac{2k}{2} + 1 \big)}
r^{2k}
=
\frac{\pi^k}{\Gamma( k + 1 )}
r^{2k}
=
\frac{\pi^k}{k!}r^{2k}
\tag{16}
となり，(2)式を満たすことが分かりました．なお，計算の過程で，ガンマ関数の性質
\Gamma(N + 1)
=
N!
\ \ \
(N \in \mathbb{N})
\tag{17}
を使用しています．
まとめると，$n$次元球の体積は$n$の奇偶によらず以下の1つの式にまとめることが可能です．
V_n
=
\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\big( \frac{n}{2} + 1 \big)}
r^n
\tag{18}
美しいですね～．
一見すると何に使うのかよく分からない式だと思いますが，実はこれもロボット工学に登場するんです．それらについてはまた後ほどまとめます．
4. おわりに
今週の記事では，$n$次元球の体積を計算し，ガンマ関数を用いてその結果を一般化しました．体積を求めたならば表面積も計算してみたくなると思うので，来週は表面積を計算していきます．また，$n$次元球とロボット工学の関係性についてもそのうち解説します．
今週も最後まで読んでいただき，ありがとうございました！