はじめまして、りょーつといいます。高専出身の博士課程1年生です．研究の専門は力学や機構学ですが，Qiitaでは主に制御工学や数学に関する記事を書いています。今週は，高専に通っていた頃にお世話になった数学の先生から教わった，$n$次元球の話をまとめてみようと思います．
目次
1.はじめに
2.球の体積と表面積の関係
3.N次元球の表面積
4.おわりに
1. はじめに
今回はN次元球の表面積を計算します．前回の記事ではN次元球の体積をガンマ関数で一般化しました．体積を計算したのだから表面積も計算してみよう，というのが本記事の主題です．
なお，$n$次元球の体積$V_n$は以下の計算式で求まります．
V_n
=
\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\big( \frac{n}{2} + 1 \big)}
r^n
\tag{1}
第2章では，円や球などよく知られた例から傾向を見出し，第3章で一般化を行います．(1)式を全面的に信頼するのであれば特に事前知識は必要ありません．
2. 球の体積と表面積の関係
まずは身近な例から考えていきましょう．3次元の球体の体積$V_3$は皆さんご存じの通り
V_3
=
\frac{4}{3} \pi
r^3
\tag{2}
で計算できます．一方で，3次元球体の表面積$S_3$は以下の計算式で計算できますね．
S_3
=
4 \pi r^2
\tag{3}
では，2次元ではどうでしょうか？まず体積$V_2$は円の面積に相当するので以下のように与えられます．
V_2
=
\pi r^2
\tag{4}
一方で，円の表面積は，円の境界部分の長さ，すなわち円周の長さに対応するため，以下のように計算できます．
S_2
=
2 \pi r
\tag{5}
ここで，これらに規則性が見えてきたのではないでしょうか？
実は(2)式と(3)式，(4)式と(5)式にはそれぞれ以下のような対応関係があります．
S_2
=
\frac{dV_2}{dr}
\tag{6}
S_3
=
\frac{dV_3}{dr}
\tag{7}
これは偶然ではなく，$n$次元に拡張可能な性質です．(6)，(7)式の一般化については第3章で扱います．
3. N次元球の表面積
本章では$n$次元球面の表面積が以下の計算から得られることを示し，実際に計算してみます．
S_n
=
\frac{dV_n}{dr}
\tag{8}
そのためにまずは，(7)式の導出過程を見てみましょう．
中心を共有する半径$r + \Delta r$の3次元球体と半径$r$の3次元球体を考えましょう．ここで，半径$r + \Delta r$の3次元球体から半径$r$の3次元球体をくりぬいた部分の体積$\Delta V_3(r)$を考えます．数式で表すと以下のようになりますね．
\Delta V_3(r)
=
V_3(r + \Delta r)
-
V_3(r)
\tag{9}
ここで，$\Delta r$が十分に小さいとき，体積$\Delta V_3$は球の表面積$S_3(r)$に極薄の厚み$\Delta r$を持たせた体積と一致します．すなわち
\lim_{\Delta r \to 0}
\Delta V_3(r)
=
\lim_{\Delta r \to 0}
S_3(r) \Delta r
\tag{10}
です．
(10)式に(9)式を代入して$S_3(r)$について解くと以下の関係が得られます．
S_3(r)
=
\lim_{\Delta r \to 0}
\frac{\Delta V_3(r)}{\Delta r}
=
\lim_{\Delta r \to 0}
\frac{V_3(r + \Delta r) - V_3(r)}{\Delta r}
\tag{11}
(11)式の右辺は微分の定義式そのものですので，(11)式から(7)式を導くことができます．2次元の場合も同様に(6)式を導くことができます．
では，$n$次元の場合でも，体積$V_n$の微小変化が表面積$S_n$の微量な厚みによって作られると考えれば，$S_n$が(8)式で定義されるのも納得ですね．
実際に$n$次元球体の表面積$S_n$を計算してみましょう．(1)式を微分するだけです．
S_n
=
\frac{dV_n}{dr}
=
\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\big( \frac{n}{2} + 1 \big)}
\frac{d}{dr} r^n
=
\frac{n \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\big( \frac{n}{2} + 1 \big)} r^{n-1}
\tag{12}
(12)式はガンマ関数の性質
\Gamma(x + 1)
=
x \Gamma(x)
\tag{13}
を用いることで簡略化できます．(12)式の分母を以下のように展開します．
\Gamma\bigg( \frac{n}{2} + 1 \bigg)
=
\frac{n}{2}
\Gamma\bigg( \frac{n}{2}\bigg)
\tag{14}
最後に(14)式を(12)式に代入して整理すると，分子の$n$が約分されて以下の関係が得られます．
S_n
=
\frac{2 \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\big( \frac{n}{2} \big)} r^{n-1}
\tag{15}
4. おわりに
$n$次元球体シリーズはひと段落しました．まとめると，$n$次元球の体積$V_n$と表面積$S_n$はそれぞれ以下のように計算できます．
V_n
=
\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\big( \frac{n}{2} + 1 \big)}
r^n
S_n
=
\frac{2 \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\big( \frac{n}{2} \big)} r^{n-1}
次元が違うので単純な比較は困難ですが，$r = 1$の単位球における各次元の体積・表面積を比較したり，それらの比率などを求めてみるのは面白そうだなと思います．また，その仲間である$n$次元楕円体についても触れたいと思います．
今週も最後まで読んでいただきありがとうございました～