はじめまして、りょーつといいます。高専出身の博士課程1年生です．研究の専門は力学や機構学ですが，Qiitaでは主に制御工学や数学に関する記事を書いています。今週は，高専に通っていた頃にお世話になった数学の先生から教わった，$n$次元球の話をまとめてみようと思います．
目次
1.はじめに
2.球の表面積の計算式
3.N次元球の体積と表面積のプロット
4.おわりに
1. はじめに
今回は$n$次元球の体積$V_n$と表面積$S_n$の次元$n$の変化に対応した推移を計算します．それぞれの解は前回の記事で以下のように表されることを導出済です．
V_n
=
\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\big( \frac{n}{2} + 1 \big)}
r^n
\tag{1}
S_n
=
\frac{2 \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\big( \frac{n}{2} \big)} r^{n-1}
\tag{2}
また，体積$V_n$は以下の漸化式を満たすことを示しました．
V_n
=
\frac{2\pi r^2}{n}
V_{n-2}
\tag{3}
今回の記事では，(2)式から$S_n$を計算する漸化式や，$V_n$から直接求める計算式を導出します．また，これらを用いて各次元$n$における単位球の体積と表面積をプロットしてみようと思います．
2. 球の表面積の計算式
まずは(2)式をもとに漸化式を求めてみようと思います．ガンマ関数$\Gamma$の中に分数が含まれているので，1つ飛ばしの漸化式になりそうですね．
まずは(2)式をもとに$S_{n-2}$を計算します．
S_{n+2}
=
\frac{2 \pi^{\frac{n+2}{2}}}{\Gamma\big( \frac{n+2}{2} \big)} r^{n+1}
=
\frac{2 \pi^{\frac{n}{2} + 1}}{\Gamma\big( \frac{n}{2} + 1 \big)} r^{n+1}
\tag{4}
ここで，(2)式と(4)式から，$S_n$と$S_{n+2}$の比率$S_{n+2}/S_n$を計算してみましょう．
ガンマ関数の性質
\Gamma\bigg( \frac{n}{2} + 1 \bigg)
=
\bigg( \frac{n}{2} \bigg)
\Gamma \bigg( \frac{n}{2} \bigg)
\tag{5}
を使います．
\frac{S_{n+2}}{S_n}
=
\frac{2 \pi^{\frac{n}{2} + 1}}{\Gamma\big( \frac{n}{2} + 1 \big)} r^{n+1}
\cdot
\frac{\Gamma\big( \frac{n}{2} \big)}{2 \pi^{\frac{n}{2}}}
\frac{1}{r^{n-1}}
=
\frac{\pi r^2}{ \big( \frac{n}{2} \big) \Gamma\big( \frac{n}{2} \big)}
\cdot
\Gamma\bigg( \frac{n}{2} \bigg)
=
\frac{2 \pi r^2}{n}
\tag{6}
計算しやすいように添え字をずらすと以下が得られます．
S_n
=
\frac{2 \pi r^2}{n-2}
S_{n-2}
\tag{7}
また，漸化式を用いずに体積$V_n$と表面積$S_n$の比率$S_n/V_n$から直接$S_n$を計算することもできます．このときも(5)式を活用します．
\frac{S_n}{V_n}
=
\frac{2 \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\big( \frac{n}{2} \big)} r^{n-1}
\cdot
\frac{\Gamma\big( \frac{n}{2} + 1 \big)}{\pi^{\frac{n}{2}}}
\frac{1}{r^n}
=
\frac{2 \pi^{\frac{n}{2}} r^{n-1}}{\pi^{\frac{n}{2}} r^n}
\frac{\frac{n}{2} \Gamma\big( \frac{n}{2} \big) }{\Gamma\big( \frac{n}{2} \big)}
=
\frac{n}{r}
\therefore
S_n
=
\frac{n}{r}
V_n
\tag{8}
これで簡単に$S_n$が計算できますね！
3. N次元球の体積と表面積のプロット
本章では単位球，すなわち半径$r$を$1$とした場合における$n$次元球の体積$V_n(1)$と表面積$S_n(1)$を計算してプロットし，次元$n$の変化と$V_n(1)$や$S_n(1)$の変化を見ていきます．なお，次元$n$が変わると単位が一致しないので，単純な比較ではないことにご注意ください．
ちなみに$r = 1$を(8)式に代入すると，$n \in \mathbb{N}$のとき，
S_n(1)
=
n
V_n(1)
\ge
V_n(1)
\tag{9}
となり，(次元は一致していないが)すべての次元において体積$V_n(1)$よりも表面積$S_n(1)$のほうが大きくなります．
$n$を大きくすると$S_n$と$V_n$ともに収束するので，$1 \leq n \leq 30$の結果をプロットしました(図1)．計算にはエクセル2019と(3)式，(6)式の漸化式を用いました．※階乗の式(1)，(2)を使ってもいいのですが，とても桁の大きい数字を扱うことになるので漸化式のほうがいいと思います～．
図1 単位$n$次元球$r = 1$の体積$V_n(1)$と表面積$S_n(1)$
単位球の場合は$V_n(1)$と$S_n(1)$ともに極大値を取ってから$0$に収束していますね．
なお，ガンマ関数の性質
\lim_{x\to \infty} \Gamma(x)
=
\infty
\tag{10}
を用いれば，(1)式と(2)式より，ただちに収束することが示せます．
\lim_{n \to \infty} V_n(1)
=
\lim_{n \to \infty}
\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\big( \frac{n}{2} + 1 \big)}
=
\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\infty}
=
0
\tag{11}
\lim_{n \to \infty} S_n(1)
=
\lim_{n \to \infty}
\frac{2 \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\big( \frac{n}{2} \big)}
=
\frac{2 \pi^{\frac{n}{2}}}{\infty}
=
0
\tag{12}
今回は単位球$r = 1$の場合についてのみ示しましたが，次回以降の記事では$r \neq 1$の場合についても計算してみようと思います．
4. おわりに
本稿では，$n$次元球の表面積$S_n$をもとめる漸化式の導出に加え，単位球の場合に体積$V_n(1)$と表面積$S_n(1)$を計算しました．
次回以降の記事では，$r \neq 1$の場合における実験結果なども示していこうと思います．予告になりますが，$r \neq 1$の場合は図1と全然違う傾向を示したりするので面白いです．また，(8)式のようにさまざまな面積や体積の比を取ることで得られる面白い性質などについても紹介できたらいいなと思います．
今週も最後まで読んでいただき，ありがとうございました！！