変数変換とヤコビヤン：個人的メモ

多重積分のヤコビヤンの由来

\int\int_D f_x(x,y)dxdy

に対して

x=p(u,v)\\
y=q(u,v)

と変数変換する。

$dxdy$を考える。

dx =　 \frac{\partial p}{\partial u} du + \frac{\partial p}{\partial v} dv\\
dy =　 \frac{\partial q}{\partial u} du + \frac{\partial q}{\partial v} dv

である。
ここで、ベクトルとして考える。$\vec{dx},\vec{dy}$を考える。

\vec{dx} =　 \frac{\partial p}{\partial u} \vec{du} + \frac{\partial p}{\partial v} \vec{dv}\\
\vec{dy} =　 \frac{\partial q}{\partial u} \vec{du} + \frac{\partial q}{\partial v} \vec{dv}

面積は外積なので

\vec{dx} \times \vec{dy} = (\frac{\partial p}{\partial u} \vec{du} + \frac{\partial p}{\partial v} \vec{dv}) \times
(\frac{\partial q}{\partial u} \vec{du} + \frac{\partial q}{\partial v} \vec{dv})

ここで、同じベクトル同士の外積は0,外積の掛け算順序が変わる場合は-1がつくことより

\vec{dx} \times \vec{dy} =(
\frac{\partial p}{\partial u} \frac{\partial q}{\partial v}
-
\frac{\partial q}{\partial u} \frac{\partial p}{\partial v})
\vec{du} \times \vec{dv}

ここで、ベクトルから積分の考えに戻すと、

dxdy 
=|J|dudv\\
J=\frac{\partial p}{\partial u} \frac{\partial q}{\partial v}
-
\frac{\partial q}{\partial u} \frac{\partial p}{\partial v}

となる。
強引だが、こう理解しとけば、ヤコビヤンがどちらをどちらで微分するか悩まなくて済む！

確率変数の確率密度関数の変換

$(X,Y)$が$f_{xy}(X,Y)$の確率密度関数に従って分布している。

x=p(u,v)\\
y=q(u,v)

と変数変換する。
逆に

u=g(x,y)\\
v=h(x,y)

とする。

$(U,V)$の分布$f_{uv}(X,Y)$を考える。

\begin{eqnarray}
P(U \leq u,V \leq v)&=& \int \int_{g(x,y) \leq u,h(x,y) \leq v} f_{xy}(x,y)dxdy\\

&=& \int \int_{g(x,y) \leq u,h(x,y) \leq v} f_{xy}(p(u,v),q(u,v))J(\frac{x,y}{u,v})dudv\\

&=& \int_{-\infty}^{u} \int_{-\infty}^{v} f_{xy}(p(u,v),q(u,v))J(\frac{x,y}{u,v})dudv\\

\end{eqnarray}

そもそも、

P(U \leq u,V \leq v) = \int_{-\infty}^{u} \int_{-\infty}^{v} f_{uv}(u,v)dudv

であった。2つを比較することで

f_{uv}(u,v) = f_{xy}(p(u,v),q(u,v))J(\frac{x,y}{u,v})

が導かれる。

ヤコビアンの分母分子の入れ替えは逆数になるので

f_{uv}(u,v) = f_{xy}(p(u,v),q(u,v))\frac{1}{J(\frac{u,v}{x,y})}

も導ける