ベクトル制御について

ベクトル制御とは

1968年 HassenおよびBlaschkeによって提案されたもの。

最終的な制御系

話が長いため、最終的な結果を示します。

まず、Bの部分：トルクから電流目標値を決定する（モーターの電気モデルを同定することで決定する）。
次に、Cの部分：電流制御器を決定します（座標変換とモーターの電気回路モデルの同定で決定）。

Aの部分はPI制御器をつけます。

SPMSMモーターの電気回路制御モデル：Cの部分

SPMSM（表面永久磁石・同期モーター）、ここではモデルが簡単になる同期モーターで話を進めます。
基本は直流モーターとほぼ同じです。

まず、内部の磁石がない場合

\begin{eqnarray}
V_u &=& RI_u + L' \frac{d}{dt}  I_u + M \frac{d}{dt}  (I_v+I_w)\\
V_v &=& RI_v + L' \frac{d}{dt}  I_v + M \frac{d}{dt}  (I_u+I_w)\\
V_w &=& RI_w + L' \frac{d}{dt}  I_w + M \frac{d}{dt}  (I_u+I_v)\\
\end{eqnarray}

第1項、2項は単純なRL回路、第3項は他相のコイル電流によって発生する電圧

内部に磁石があると、磁石の回転によって起電圧が発生。
起電圧は$V = N d \phi / dt$より磁束の時間変化が大きいときに発生する。コイルに対して磁極が向いている状態では磁束変化は小さい。コイルに対して磁極が90度ズレの時磁束変化は最大になる。よって$\sin \theta_r$の関係になる。$u,v,w$相で120度ずれを反映させると以下となる。

\begin{eqnarray}
V_u &=& RI_u + L' \frac{d}{dt}  I_u + M \frac{d}{dt}  (I_v+I_w)　- \omega_r \Phi sin \theta_r\\
V_v &=& RI_v + L' \frac{d}{dt}  I_v + M \frac{d}{dt}  (I_u+I_w) - \omega_r \Phi sin (\theta_r-\frac{2\pi}{3} )\\
V_w &=& RI_w + L' \frac{d}{dt}  I_w + M \frac{d}{dt}  (I_u+I_v) - \omega_r \Phi sin  (\theta_r-\frac{4\pi}{3} )\\
\end{eqnarray}

α、β座標系

$u,v,w$相の電圧$V_u,V_v,V_w$が上記のようにあったとする。
3つの電圧を合成する

\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
   \alpha \\
   \beta
\end{pmatrix}

&=& 
\begin{pmatrix}
   1 & -\frac{1}{2}  & -\frac{1}{2} \\
   0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
   u\\
   v\\
   w
\end{pmatrix}


\end{eqnarray} 

＜補足＞
上の絵では合成した結果$\vec{0}$ではない。
しかし、三相交流では合成した電圧は常時$\vec{0}$になるイメージは無いだろうか（自分にはあった）。
実際、120度ズレを考えず$V_u+V_v+V_w=0$は常時成立する。
上の合成は3相の電圧入力の結果できあがる磁束の方向だとイメージすると、わかりやすい。
この後合成した$V_\alpha,V_\beta$が出てくるが、α、β座標系にコイルを置いたときにコイルにかける電圧だと読み替えていただきたい。

＜補足2＞
α,βからu,v,wへの変換はどうなるだろうか。2＊3行列のため逆行列は存在しない。情報が不足している状況である。

ここで、$A^T$をどうしてもってきたのかというと困りますが、$B=A^T$がα,βからu,v,wへの変換の変換になりそうです。ただ、$3/2$が邪魔になってきます。そこで、α,βからu,v,wへの変換、u,v,wからα,βへの変換を以下と定義します。

α、β座標系に変形

\begin{eqnarray}
V_u &=& RI_u + L' \frac{d}{dt}  I_u + M \frac{d}{dt}  (I_v+I_w)　- \omega_r \Phi sin \theta_r\\
V_v &=& RI_v + L' \frac{d}{dt}  I_v + M \frac{d}{dt}  (I_u+I_w) - \omega_r \Phi sin (\theta_r-\frac{2\pi}{3} )\\
V_w &=& RI_w + L' \frac{d}{dt}  I_w + M \frac{d}{dt}  (I_u+I_v) - \omega_r \Phi sin  (\theta_r-\frac{4\pi}{3} )\\
\end{eqnarray}

を変形する。$p$は微分器とする

\begin{eqnarray}
A \begin{pmatrix} V_u \\ V_v \\ V_w \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} R + pL' & pM & pM \\ pM & R + pL' & pM \\ pM & pM & R + pL' \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{pmatrix} - A \omega_r \Phi \begin{pmatrix} \sin \theta_r \\ \sin(\theta_r - \frac{2}{3}\pi) \\ \sin(\theta_r - \frac{4}{3}\pi) \end{pmatrix}

\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix} V_\alpha \\ V_\beta \end{pmatrix} 
&=&
\frac{2}{3} \begin{pmatrix} R + pL' - pM & -\frac{R + pL'}{2} + \frac{pM}{2} & -\frac{R + pL'}{2} + \frac{pM}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} (R + pL' - pM) & \frac{\sqrt{3}}{2} (pM - R - pL') \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{pmatrix} - \omega_r \Phi \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin \theta_r \\ \sin(\theta_r - \frac{2}{3}\pi) \\ \sin(\theta_r - \frac{4}{3}\pi) \end{pmatrix}\\

&=& \frac{2}{3} \begin{pmatrix} R + pL' - pM + \frac{1}{4}(R + pL' - pM + R + pL' - pM) & 0 \\ 0 & \frac{3}{4} \cdot 2 \cdot (R + pL' - pM) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{pmatrix} - \omega_r \Phi \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{pmatrix} \sin \theta_r - \frac{1}{2} \{ \sin(\theta_r - \frac{2}{3}\pi) + \sin(\theta_r - \frac{4}{3}\pi) \} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \{ \sin(\theta_r - \frac{2}{3}\pi) - \sin(\theta_r - \frac{4}{3}\pi) \} \end{pmatrix}\\

&=&
 \begin{pmatrix} 
R + pL' - pM  & 0 \\ 
0 &  R + pL' - pM \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{pmatrix} 
+
\sqrt{\frac{3}{2}}
\omega_r \Phi 
\begin{pmatrix} 
-sin \theta_r\\
cos \theta_r
\end{pmatrix}

\end{eqnarray}

https://rikeilabo.com/transformation-formula-of-sum-and-product

すごく簡潔にまとまりました。

\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix} V_\alpha \\ V_\beta \end{pmatrix} 
=
 \begin{pmatrix} 
R + pL' - pM  & 0 \\ 
0 &  R + pL' - pM \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{pmatrix} 
+
\sqrt{\frac{3}{2}}
\omega_r \Phi 
\begin{pmatrix} 
-sin \theta_r\\
cos \theta_r
\end{pmatrix}

\end{eqnarray}

電流とトルク

電力$P$を角速度$\omega$ で割ればトルク$\tau = P / \omega$になる。

まず、電力を出す。電力は各相の電圧電流の積の合計である。

\begin{eqnarray}
P &=& 
\begin{pmatrix}
   i_u&   i_v&   i_w\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
   V_u\\
   V_v\\
   V_w\\
\end{pmatrix}\\

 &=& 
\begin{pmatrix}
   i_\alpha&   i_\beta\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
   V_\alpha\\
   V_\beta\\
\end{pmatrix}\\

&=& 
\begin{pmatrix}
   i_\alpha&   i_\beta\\
\end{pmatrix}
\{
 \begin{pmatrix} 
R + pL' - pM  & 0 \\ 
0 &  R + pL' - pM \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{pmatrix} 
+
\sqrt{\frac{3}{2}}
\omega_r \Phi 
\begin{pmatrix} 
-sin \theta_r\\
cos \theta_r
\end{pmatrix}

\}\\
&=& 
(R+p(L'-M))( i_\alpha^2 + i_\beta^2)
+
\sqrt{\frac{3}{2}}
\omega_r \Phi 
(-sin \theta_r i_\alpha  + cos \theta_r i_\beta)
\end{eqnarray} 

ここで第一項、第二項は巻線抵抗による損失・内部インダクタンスに保存される電力を意味している。
第三項が同期モータが回転の際に消費する電力となる。ここからトルクを出す。

\begin{eqnarray}
\tau &=& P/\omega_r\\
&=& 
\sqrt{\frac{3}{2}}
\Phi 
(-sin \theta_r i_\alpha  + cos \theta_r i_\beta)

\end{eqnarray}

これまた最終的にかなり簡潔な式になった。
次は$-sin \theta_r i_\alpha + cos \theta_r i_\beta$をより簡潔にしていこう。

dq座標系に変換

なぜこんなことをするかといえば、αβ座標系ではトルクに対して電流がsin,cosで現在角度に対して変動する形をしていた。dq座標系とすればトルクに対する電流は固定値を取る（これから）。電流司令器$B$に現在角度が不要なのはそういう理由である。

α,βは固定子固定された座標系である。回転子の座標系をdq座標系とする。

数式的な変形はただの回転なので簡単である。

\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} 
= \begin{pmatrix} \cos \theta_r & -\sin \theta_r \\ \sin \theta_r & \cos \theta_r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d \\ q \end{pmatrix}

\end{eqnarray}

先程のトルクの式をdqで書き換えると

\begin{eqnarray}
\tau &=& P/\omega_r\\
&=& 
\sqrt{\frac{3}{2}}
\Phi 
(-sin \theta_r i_\alpha  + cos \theta_r i_\beta)\\

&=& 
\sqrt{\frac{3}{2}}
\Phi 
\begin{pmatrix} 
-sin \theta_r  &  cos \theta_r
\end{pmatrix} 

\begin{pmatrix} \cos \theta_r & -\sin \theta_r \\ \sin \theta_r & \cos \theta_r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_d \\ i_q \end{pmatrix}\\

&=&
\sqrt{\frac{3}{2}}
\Phi 
i_q

\end{eqnarray}

最終的に恐ろしく簡潔な式になりました。
回転子座標dqに対して、q方向の電流とトルクは比例するという結論です。

B：電流司令生成器

これはここまでの話で明確ですね。

\begin{eqnarray}
\tau
&=& 
\sqrt{\frac{3}{2}}
\Phi 
i_q\\

\therefore 
i_q &=& \sqrt{\frac{2}{3}}
\frac{\tau}{\Phi}\\
i_d &=& 0\\

\end{eqnarray}

C : 電流制御器

同期モータの電気回路は下記の方程式に従っていました。

\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix} V_\alpha \\ V_\beta \end{pmatrix} 
=
 \begin{pmatrix} 
R + pL' - pM  & 0 \\ 
0 &  R + pL' - pM \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{pmatrix} 
+
\sqrt{\frac{3}{2}}
\omega_r \Phi 
\begin{pmatrix} 
-sin \theta_r\\
cos \theta_r
\end{pmatrix}

\end{eqnarray}

dq座標系に変換します。

\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix} \cos \theta_r & -\sin \theta_r \\ \sin \theta_r & \cos \theta_r \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} V_d \\ V_q\end{pmatrix} 
&=&
 \begin{pmatrix} 
R + pL' - pM  & 0 \\ 
0 &  R + pL' - pM \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} \cos \theta_r & -\sin \theta_r \\ \sin \theta_r & \cos \theta_r \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} i_d \\ i_q \end{pmatrix} 
+
\sqrt{\frac{3}{2}}
\omega_r \Phi 
\begin{pmatrix} 
-sin \theta_r\\
cos \theta_r
\end{pmatrix}\\

\therefore
\begin{pmatrix} V_d \\ V_q\end{pmatrix} 
&=&
 \begin{pmatrix} 
R + pL' - pM  & 0 \\ 
0 &  R + pL' - pM \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} i_d \\ i_q \end{pmatrix} 
+
\sqrt{\frac{3}{2}}
\omega_r \Phi 
\begin{pmatrix} \cos \theta_r & \sin \theta_r \\ -\sin \theta_r & \cos \theta_r \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} 
-sin \theta_r\\
cos \theta_r
\end{pmatrix}\\

\therefore
\begin{pmatrix} V_d \\ V_q\end{pmatrix} 
&=&
 \begin{pmatrix} 
R + pL' - pM  & 0 \\ 
0 &  R + pL' - pM \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} i_d \\ i_q \end{pmatrix} 
+
\sqrt{\frac{3}{2}}
\omega_r \Phi 
\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} 

\end{eqnarray}

目標電流$i_d,i_q$から目標電圧$V_d,V_q$を司令する方程式ができました。

＜補足＞
実電流$i_d,i_q$も入ってくるがどのように使うのかといえば

\begin{eqnarray}

\begin{pmatrix} V_d \\ V_q\end{pmatrix} 
&=&
 \begin{pmatrix} 
R + pL' - pM  & 0 \\ 
0 &  R + pL' - pM \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} i_d \\ i_q \end{pmatrix} 
+
\sqrt{\frac{3}{2}}
\omega_r \Phi 
\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} 

+ PI \begin{pmatrix} \Delta i_d \\ \Delta i_q \end{pmatrix} 
\end{eqnarray}

のようにPI制御器をくっつけて電流が目標値へ追従するように制御をつけます。

dqからuvwへの変換

ここまで出た式をまとめます。

\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} 
= \begin{pmatrix} \cos \theta_r & -\sin \theta_r \\ \sin \theta_r & \cos \theta_r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d \\ q \end{pmatrix}

\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
   u\\
   v\\
   w
\end{pmatrix}


&=& 
\begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
   -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
   \alpha \\
   \beta
\end{pmatrix}\\

&=& \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
   -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \cos \theta_r & -\sin \theta_r \\ \sin \theta_r & \cos \theta_r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d \\ q \end{pmatrix}\\

\end{eqnarray} 

この式を使い、$V_d,V_q$からインバータ指令電圧を計算します。

以上でベクトル制御の骨子は理解できたはずである。
同期モータの電気回路方程式を元にしていることから、パラメータ同定が必要になる。

制御について

先程、電流制御については適当にPI制御をつけると説明したが、詳細に話すと違ってくる。
モーター電気回路方程式を再度見る。

\begin{eqnarray}

\begin{pmatrix} V_d \\ V_q\end{pmatrix} 
&=&
 \begin{pmatrix} 
R + pL' - pM  & 0 \\ 
0 &  R + pL' - pM \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} i_d \\ i_q \end{pmatrix} 
+
\sqrt{\frac{3}{2}}
\omega_r \Phi 
\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} 
\end{eqnarray}

$i_d,i_q$を状態変数とした状態方程式が作れる。入力は$V_d,V_q$とする。
qが微分器であることを思い出す。

\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}
\begin{pmatrix} i_d \\ i_q\end{pmatrix} 
&=&
 \begin{pmatrix} 
 \frac{pM-R}{L'}  & 0 \\ 
0 &   \frac{pM-R}{L'}  \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} i_d \\ i_q \end{pmatrix} 
+
\frac{1}{L'} 
\begin{pmatrix} V_d \\ V_q\end{pmatrix} 
-
\sqrt{\frac{3}{2}}
\frac{\omega_r \Phi }
{L'}
\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} 
\end{eqnarray}

目標$i_d,i_q$に近づくように、サーボ系を組むことになる。

IPMSMの場合

IPMSM:Interior Permanent Magnet Synchronous Motor
SPMSMと何が違うかというと、電気回路方程式が少し変わります。

SPMSMの場合

\begin{eqnarray}
V_u &=& RI_u + L' \frac{d}{dt}  I_u + M \frac{d}{dt}  (I_v+I_w)　- \omega_r \Phi sin \theta_r\\
V_v &=& RI_v + L' \frac{d}{dt}  I_v + M \frac{d}{dt}  (I_u+I_w) - \omega_r \Phi sin (\theta_r-\frac{2\pi}{3} )\\
V_w &=& RI_w + L' \frac{d}{dt}  I_w + M \frac{d}{dt}  (I_u+I_v) - \omega_r \Phi sin  (\theta_r-\frac{4\pi}{3} )\\
\end{eqnarray}

IPMSMの場合、$L',M$が一定値ではなく、回転子の回転に合わせて変動する。
突極モーターだと手動で回すとトルクに脈動がある。あれと同じである。突極のがちょうどよく噛み合う場所と噛み合わない場所があり、結果として脈動する。コギングトルクとも呼ばれる。

回転子の回転角度によって、インダクタンスが変化すると考えられる。

\begin{eqnarray}
V_u &=& RI_u + L_u' \frac{d}{dt}  I_u + M \frac{d}{dt}  (I_v+I_w)　- \omega_r \Phi sin \theta_r\\
V_v &=& RI_v + L_v' \frac{d}{dt}  I_v + M \frac{d}{dt}  (I_u+I_w) - \omega_r \Phi sin (\theta_r-\frac{2\pi}{3} )\\
V_w &=& RI_w + L_w' \frac{d}{dt}  I_w + M \frac{d}{dt}  (I_u+I_v) - \omega_r \Phi sin  (\theta_r-\frac{4\pi}{3} )\\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
L_u' &=& L_{ave} + L_{amp}cos 2 \theta_r : (\theta_r =0,180度で最大,\theta_r =90,270度で最小)\\
L_v' &=& L_{ave} + L_{amp}cos 2 (\theta_r-120)  : (\theta_r =120,300度で最大,\theta_r =210,390度で最小) \\
L_w' &=& L_{ave} + L_{amp}cos 2 (\theta_r-240) 
\end{eqnarray}

同様に相互インダクタンス$M$についても同様に言えます。

\begin{eqnarray}
M_uv' &=& M_{ave} + M_{amp}cos 2 (\theta_r-60) : (\theta_r =60,240度で最大,\theta_r =-30,150度で最小)\\
M_vw' &=& M_{ave} + M_{amp}cos 2 \theta_r  : (\theta_r =180,0度で最大,\theta_r =90,270度で最小) \\
M_wu' &=& M_{ave} + M_{amp}cos 2 (\theta_r-30)  : (\theta_r =30,210度で最大,\theta_r =120,300度で最小) 
\end{eqnarray}

だいぶ書いたので一度ここまでにしようと思う。