基礎数学公式一覧【微分】

はじめに

筆者自身の勉強用備忘録です。
微分は、数学Ⅲくらいから難しさを痛感しています。社会人になると、なかなか時間とって覚えられなくて・・・・
まだまだ足りないので、どんどん追記しています。
Wikipediaリンク

同じシリーズとして微分は別記事「基礎数学公式一覧【三角関数】」にあります。

公式一覧

極限

微分ではないですが極限公式から始めます。

項目	内容	備考
三角関数	$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin{x}}{x}=1 $ $ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan{x}}{x}=1 $ $ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2} $	図形的に証明できます
指数・対数関数	$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1 $ $ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\log (1+x)}{x}=1 $ $ \lim_{x\rightarrow0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e} $ $ \lim_{x\rightarrow\pm\infty}(1+\frac{1}{x})^x=\mathrm{e} $	ネイピア数$\mathrm{e}$の定義から順に証明可能

微分

本題の微分です。

• $ (\mathrm{e}^{x})'=\mathrm{e}^{x} $

• $ ({a}^{x})'={a}^{x} \log a $ $(a>0)$

• $ (\log x)' = \frac{1}{x} $ $(x>0)$

• $ (\log_a x)' = \frac{1}{x \log a} $ $(x>0)$

• $ \left[ \log f(x) \right]' = \frac{f'(x)}{f(x)}$ $(f(x)>0)$

• $ ({x}^{\alpha})'={\alpha}{x}^{\alpha-1} $

• $ (\sin x)'=\cos x $

• $ (\cos x)'=-\sin x\ $

• $ (\tan x)'=\frac{1}{cos^2 x} $

• $ (\sin^{-1}{x})'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ $ (-1<x<1)$

• $ (\cos^{-1}{x})'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ $ (-1<x<1)$

• $ (\tan^{-1}{x})'=\frac{1}{1+x^2} $ $ (-1<x<1)$

• $ (\sinh^{x})' =\cosh^{x} $

• $ (\cosh^{x})' =\sinh^{x} $

• $ (\tanh^{x})' =1- \tanh^{2}{x} $

• $ (\sinh^{-1}{x})' =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $

• $ (\cosh^{-1}{x})' =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} $

• $ (\tanh^{-1}{x})' =\frac{1}{1-x^2} $

高校で習った基本的な微分公式

• $ [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\ $
• $ \left[\frac{1}{g(x)}\right]'=-\frac{g'(x)}{[g(x)]^2}\ $
• $ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'=-\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\ $
• $ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\ $
• $ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\ $
• $ \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}\ $

おまけ(積分)

積分公式
本当は、積分編を作りたいのですが、時間の関係でリンクのみ。