基礎数学公式一覧【三角関数】

はじめに

筆者自身の勉強用備忘録です。
三角関数は、高校生時代に多少馬鹿にしていましたが、学びなおすとすごく重要。このおかげでいろいろな公式展開ができます。
Wikipediaリンク

同じシリーズとして微分は別記事「基礎数学公式一覧【微分】」にあります。

公式一覧

数学Ⅰ内容(リンク先参照)

項目	内容	備考
基本公式	$ \tan \theta= \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\ $ $ \sin ^2\theta+\cos ^2\theta=1\ $ $ 1+\tan ^2\theta= \frac{1}{\cos ^2\theta} $	基本中の基本
正弦定理	$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $	図形はリンク先参照
余弦定理	$ a^2 = b^2+c^2-2bc\cos A\ $ $ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $	図形はリンク先参照

数学Ⅱ内容(リンク先参照)

項目	内容	備考
加法定理	$ \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\ $ $ \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\ $ $ \tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\ $	本当によく使います
2倍角の公式	$ \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\ $ $ \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\ $ $ \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}\ $	加法定理ほどではないですが使います
半角の公式	$ \sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\ $ $ \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}\ $ $ \tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\ $	加法定理ほどではないですが使います
3倍角の公式	$ \sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\ $ $ \cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\ $	使った記憶がないです・・・

数学Ⅲ内容(リンク先参照)

項目	内容	備考
積和の公式	$ \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\ $ $ \cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha-\beta)-\sin(\alpha-\beta)]\ $ $ \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\ $ $ \sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\ $	加法定理から簡単に導出可能 あまり使ったことはないですが・・・
和積の公式	$ \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\ $ $ \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\ $ $ \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\ $ $ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\ $	あまり使ったことはないですが・・・
ワイエルシュトラスの置換	$ \tan\theta=t $とおくと $ \sin2\theta=\frac{1+t^2}{2t}\ $ $ \cos2\theta=\frac{1+t^2}{1-t^2}\ $	積分計算で使う
微分公式	$ (\sin x)'=\cos x $ $ (\cos x)'=-\sin x\ $ $ (\tan x)'=\frac{1}{cos^2 x} $	非常によく使います

大学内容

逆三角関数

項目	通常表記	定義
アークサイン(arcsine)	$y=sin^{-1}{x}$ または $ y=\arcsin{x}\ $	$ x=\sin{y} $
アークコサイン(arccosine)	$y=cos^{-1}{x}$ または $ y=\arccos{x}\ $	$ x=\cos{y} $
アークタンジェント(arctangent)	$y=sin^{-1}{x}$ または $ y=\arctan{x}\ $	$ x=\tan{y} $

逆三角関数は逆数ではないです
$sin^{-1}{x}\neq\frac{1}{\sin{x}}$
逆数は以下のように別記号で表されます

• $ \frac{1}{\sin{x}}=\csc{x}$ (コセカント("cosec"とも表します))

• $ \frac{1}{\cos{x}}=\sec{x}$ (セカント)

• $ \frac{1}{\tan{x}}=\cot{x}$ (コタンジェント)

微分公式は以下のようになります。

• $ (\sin^{-1}{x})'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ $ (-1<x<1)$

• $ (\cos^{-1}{x})'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ $ (-1<x<1)$

• $ (\tan^{-1}{x})'=\frac{1}{1+x^2} $ $ (-1<x<1)$

双曲線関数

基本定義

三角関数ではないですが、類似しているということと、筆者の便宜上、当記事にのせておきます。

項目	定義
ハイパボリック・コサイン (hyperbolic cosine)	$\cosh{x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
ハイパボリック・サイン (hyperbolic sine)	$\sinh{x}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
ハイパボリック・タンジェント (hyperbolic tangent)	$\tanh{x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

基本性質

三角関数とほぼ同じです

• $ \cosh{^2}{x} - \sinh{^2}{x}=1 $

• $ 1 - tanh{^2}{x}=\frac{cosh{^2}{x}}{1} $ (三角関数基本公式と符号に注意)

• $ \tanh{x}=\frac{cosh{x}}{sinh{x}}\ $

加法定理

三角関数の加法定理とほぼ同じです

• $ \sinh(\alpha\pm\beta)=\sinh\alpha\cosh\beta\pm\cosh\alpha\sinh\beta\ $

• $ \cosh(\alpha\pm\beta)=\cosh\alpha\cosh\beta\pm\sinh\alpha\sinh\beta\ $ (三角関数加法定理と符号に注意)

• $ \tanh(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\pm\tan\alpha\tan\beta}\ $ (三角関数加法定理と符号に注意)

逆関数

• $ \sinh^{-1}{x}=\log (x+\sqrt{x^2+1})$

• $ \cosh^{-1}{x}=\log (x+\sqrt{x^2-1})$

• $ \tanh^{-1}{x}=\frac{1}{2}\log \frac{1+x}{1-x}\ $

微分公式

• $ (\sinh^{x})' =\cosh^{x} $

• $ (\cosh^{x})' =\sinh^{x} $

• $ (\tanh^{x})' =1- \tanh^{2}{x} $

• $ (\sinh^{-1}{x})' =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $

• $ (\cosh^{-1}{x})' =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} $

• $ (\tanh^{-1}{x})' =\frac{1}{1-x^2} $

三角関数関連

極限・微分等

項目	内容	備考
極限公式	$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin{x}}{x}=1 $ $ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan{x}}{x}=1 $ $ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2} $	図形的に証明できます