React + Material-UIで手っ取り早くBottomNavigationの色を変えようと思ったのですが、ハマったのでメモ。
最終的なコードはこんな感じ。

Footer.tsx

import React from "react";
import makeStyles from "@material-ui/core/styles/makeStyles";
import createStyles from "@material-ui/core/styles/createStyles";
import { Theme } from "@material-ui/core/styles";
import BottomNavigation from "@material-ui/core/BottomNavigation";
import BottomNavigationAction from "@material-ui/core/BottomNavigationAction";
import RestoreIcon from "@material-ui/icons/Restore";
import FavoriteIcon from "@material-ui/icons/Favorite";
import LocationOnIcon from "@material-ui/icons/LocationOn";
import AppBar from "@material-ui/core/AppBar";

const useStyles = makeStyles((theme: Theme) =>
  createStyles({
    root: {
      width: "100%",
      backgroundColor: theme.palette.primary.main,
    },
    appBar: {
      top: "auto",
      bottom: 0,
    },
  })
);

const actionStyles = makeStyles((theme: Theme) =>
  createStyles({
    root: {
      backgroundColor: "inherited",
      "&$selected": {
        color: theme.palette.secondary.main,
      },
    },
    selected: {},
  })
);

export default function Footer() {
  const classes = useStyles();
  const actionClass = actionStyles();
  const [value, setValue] = React.useState(0);

  return (
    <AppBar position='fixed' color='primary' className={classes.appBar}>
      <BottomNavigation
        value={value}
        onChange={(event, newValue) => {
          setValue(newValue);
        }}
        showLabels
        classes={{ root: classes.root }}
      >
        <BottomNavigationAction
          classes={actionClass}
          label='Recents'
          icon={<RestoreIcon />}
        />
        <BottomNavigationAction
          classes={actionClass}
          label='Favorites'
          icon={<FavoriteIcon />}
        />
        <BottomNavigationAction
          classes={actionClass}
          label='Nearby'
          icon={<LocationOnIcon />}
        />
      </BottomNavigation>
    </AppBar>
  );
}

Material-UIの"Overriding styles with classes"を使っています。
https://material-ui.com/customization/components/#overriding-styles-with-classes

makeStylesでスタイルを作ります。

BottomNaviationActionのstyle.tsx

const actionStyles = makeStyles((theme: Theme) =>
  createStyles({
    root: {
      backgroundColor: "inherited",
      "&$selected": {
        color: theme.palette.secondary.main,
      },
    },
    selected: {},
  })
);

classesの引数でこのスタイルをとります。

.tsx

const actionClass = actionStyles();

 <BottomNavigationAction
   classes={actionClass}
   label='Nearby'
   icon={<LocationOnIcon />}
/>

これだけといえばこれだけですが、洗濯した後の色の指定に意外とハマりました。
selected: {}　のところは必須です。（オリジナルのクラスを消さないと反映されない）

無事に背景を黄色、選択した時にオレンジになりました。（配色のセンスは置いときましょう。）