Particle Trajectory Analysisの仕組み
問題設定
Particle Trajectory Analysisでは流体内の粒子の直径である流体力学的直径(Hydrodynamic Diameter)を粒子のブラウン運動の速度から推定を行います。流体力学的直径は粒子表面とポリマー(高分子から構成される物質)の位置関係によって変わるので、Particle Trajectory Analysisでは推定した結果の分布を用いることが多いです。
Stokes-Einstein方程式
Stokes-Einstein方程式は流体力学的直径の$d(H)$とブラウン運動の速度を反映する拡散係数$D$との関係式です。
\begin{align}
d(H) = \frac{kT}{3 \pi \eta D}
\end{align}
| 記号 | 解釈 |
|---|---|
| $d(H)$ | 流体力学的直径(Hydrodynamic Diameter) |
| $D$ | 拡散係数(Diffusion Coefficient) |
| $k$ | ボルツマン定数 |
| $T$ | 温度(K) |
| $\eta$ | 粘度(viscosity) |
平均変位を用いた拡散係数の推定
Particle Trajectory Analysisでは下記のように定義される「ラグ$n \Delta t$における平均変位(MSD; Mean Square Displacement)の$\mathrm{MSD}(n)$」を用います。
\begin{align}
\mathrm{MSD}(n) = 4 n \Delta t D = \frac{1}{N-n} \sum_{i=1}^{N-n} \left[ (x_{i+n} - x_{i})^{2} + (y_{i+n} - y_{i})^{2} \right]
\end{align}
| 記号 | 解釈 |
|---|---|
| $D$ | 拡散係数(Diffusion Coefficient) |
| $N$ | 全フレーム数 |
| $n$ | $n$フレーム先と差分の計算を行う |
| $(x_{i},y_{i})$ | $i$番目のフレームの粒子の位置 |
| $(x_{i+n},y_{i+n})$ | $i+n$番目のフレームの粒子の位置 |
また、平均変位はラグ$n \Delta t$に比例することも合わせて抑えておくと良いと思います。
ラグ$n \Delta t$とMSD(Trajectory Analysis in Single-Particle Tracking: From Mean Squared Displacement to Machine Learning Approaches Figure.1.b)