やたら長いタイトルになってしまいましたが、API Gatewayに関して、これらの関係がややこしくて最初ものすごく混乱したので、思考整理も兼ねて、簡単にまとめておきます。

API Gateway

AWSの提供するAPIを作成・管理などするためのサービス。

API Gatewayにまつわる基本的な事柄は、

あたりを参照。

API Gatewayの種類

API Gatewayには、以下の2カテゴリ3種類あります。

図を使ってカテゴライズすると以下のような感じ。

コチラのページなどでREST APIとHTTP APIのみ比較がなされていますが、この2つが同じステートレスのため。

機能重視ならREST API、コスト重視ならHTTP APIといったところでしょうか。

公式サイトでは、このページとかに出てくるやつ。

名前からしてややこしいですが、、API Gateway APIは、API Gatewayを操作、すなわち、作成・更新・削除などするためのAPIのこと。
V1（Version1）とV2（Version2）があり、それぞれ以下のような違いがあります。

API Gatewayのうち、REST APIを操作するためのもの
リファレンスは、コチラ

図を使ってカテゴライズすると以下のような感じ。

Versionによって操作できるAPIの種類が違うというわけですね。
なお、IaCサービスであるCloudFormationやTerraformにおいても、API同様、

となっています。
API Gateway APIの拡張的なポジションかと思うので、当たり前かもですが、、

ここまでの内容を表にまとめると、以下のようになります。

ここでREST APIに焦点を当てると、Version1 → 古いので非推奨、ではなく、昔からある重鎮といった感じですね。

上記の内容ですらややこしいのに、独自の概念も相まって、なかなかとっつきにくい、、

概念に関しては、

が、とてもわかりやすかったので、一度見てみるとよいかと。