学校教育数学の問題児、「単項式と多項式」にぶち当たっている生徒を訳あって見掛けたので、個人的にChatGPT-4に訊いてみた。

環境

環境：ChatGPT Plus
日付：2023-05-30

やり取り

自分「多項式とは何ですか？」

GPT-4「多項式は数学における一種の表現形式で、変数、係数、指数を使用します。基本的な形は次のようになります：

a_n * x^n + a_(n-1) * x^(n-1) + ... + a_2 * x^2 + a_1 * x + a_0

ここで、a_n, a_(n-1), ..., a_2, a_1, a_0 は係数（実数または複素数）、x は変数、n は自然数の指数です。多項式の次数は最高次の指数として定義されます。例えば、2x^2 + 3x + 1 は次数2の多項式です。」

自分「単項式は多項式の一つですか？それとも相反する概念ですか？」

GPT-4「単項式は多項式の一種であり、名前の通り一つの項だけから構成されます。つまり、単項式は形式が a_n * x^n のような式です。ここで、a_n は係数（実数または複素数）、x は変数、n は自然数の指数です。

一方、多項式は一つ以上の項が加算または減算によって組み合わさって構成されるため、単項式は多項式の一部または特殊なケースと見ることができます。例えば、2x^2 + 3x + 1 の多項式は三つの単項式（2x^2、3x、1）から構成されています。

したがって、単項式と多項式は相反する概念ではなく、むしろ単項式は多項式の特殊な形を示すものです。」

自分「日本の学校教育において、

単項式とは項が一つの式
多項式とは項が二つ以上の式

と定義されています。あなたから見てこの定義には問題がありますか？」

GPT-4「その定義には基本的に問題はありません。実際、それは一般的な解釈に非常によく一致しています。ただし、一部の文脈では、"多項式"は一つ以上の項を持つと定義され、したがって単項式も多項式の特殊なケースと見なされます。このように、単項式と多項式の定義は、教える文脈や数学の分野により、少し異なる場合があります。

しかし、日本の学校教育において述べられたような定義は、学生がこれらの概念を理解する上で非常に有用であり、単項式と多項式を区別するための良い方法を提供しています。」

自分「抽象代数学において、多項式全体の集合は環であると見なす手法が主流だと思います。これは、単項式が多項式の特殊ケースだと思って、

(多項式)-(多項式)=(単項式)

となるときでも多項式全体の集合が加算について閉じていると言えるようにするためだと考えました。

私が先にお伝えした日本の学校教育での定義は多項式環など高度な数学への理解を阻害しませんか？」

GPT-4「ご指摘の通り、抽象代数学では多項式全体の集合を環として扱います。ここで、環は加算、減算、乗算について閉じているという性質を持つ数学的な構造です。

日本の学校教育での定義（単項式は項が一つ、多項式は項が二つ以上の式）は、初等的な数学のレベルでは非常に有用です。しかし、より高度な数学を学ぶ際には、単項式も一種の多項式として扱うべきであるという観点から見れば、それはやや混乱を招く可能性があります。

しかし、その定義が直接高度な数学への理解を阻害するわけではありません。むしろ、学生がより高度な概念を理解するためには、その定義を拡張または調整する必要があることを理解することが重要です。これは数学の多くの分野で一般的な状況で、より深い理解に進むにつれて、初期の概念が拡張、精緻化、または再解釈されることがよくあります。」

自分「なるほど。ありがとうございます。」

GPT-4「どういたしまして！何か他に質問があればいつでもお聞きください。数学についての議論はいつでも楽しいですね。」

所見

メジャーな数学的対象の定義は知っているみたいだけど妙にこっちに迎合的でChatGPT側の立ち位置がふらふらしているように見える……。

参考文献（Wikipediaを載せるのはアレだけど）