はじめに

この記事は基本概念から項目特性曲線（2PLM）の実装までをまとめた内容です。項目反応理論はあまり内容が深いので、今回はイメージできたら幸いです。違っている点などがあればご指摘お願いします。

基本概念

Wikipediaによると、評価項目群への応答に基づいて、被験者の特性（認識能力、物理的能力、技術、知識、態度、人格特徴等）や、評価項目の難易度・識別力を測定するための試験理論である。

簡単に言うと、項目（問題）に対する受験者の回答（正誤）のデータを見ることで、その設問の難易度が高いのか低いのか、また能力の高い、低いを適切に識別できる問題かどうかが分かり、それにより受験者の能力も正しく評価できる、という考え方である。

IRTを使用している主なテスト

カテゴリー	例
民間英語試験	TOEIC・TOEFL・GTEC・CASEC
学力調査試験	PISA・TIMSS・NAEP
心理尺度の作成・評価	性格判定、購買力尺度、進取的行動尺度

項目反応理論の基本（良いところ）

テストを運用する際がよく直面する問題は、例えば、ある学校の今年度試験の平均点が昨年の平均点より伸びたため、その学校の生徒たちの学力が平均的に高くなったと考えられるか？

実はそうではなく、今年度のテストが簡単になっただけかもしれないし、仮に難易度が同じあったとしても、受験を受けた学生たちの集団も異なった可能性がありえる。このような問題は、該当のテスト項目や受験者集団の性質に依存したものとなる。

そこで、IRTでは、テスト・尺度を受けた集団や問題（項目）に直接的に依存しない評価が可能。

それを実現するために、項目反応モデルと呼ばれる数理モデルと、等化と呼ばれる手続きである。

項目反応モデル

項目反応モデルとは、個人の能力・適性・態度等の直接観測できない潜在特性値をモデルに組み込み、ある**潜在特性値θ**を示す個人がある項目（問題）に正答する確率を表現。

	よくある項目反応モデル
1	ロジスティック・モデル(logistic model)
2	正規累積モデル(normal ogive model)
3	ラッシュモデル(Rasch model)
4	段階反応モデル(graded response model)
5	部分的反応モデル(partial credit model)
6	名義反応モデル(nominal response model)
7	連続的反応モデル(continuous response model)
8	拡張ロジスティックモデル(generalized logistic model)
9	一般正規累積モデル(general normal-ogive model)

色々モデルがあるが、一般的には、ロジスティクス・モデル（項目特性曲線）が使われる。
ロジスティクス・モデルで扱うパラメータ：
１．識別力（a）：受験者の特性値（能力）の違いが正答率にどの程度反映するか。
２．困難度（b）：大きいほどテスト項目が難しい問題である。
３．当て推量（c）:受験者が偶然正答する確率。

項目特性曲線(Item Characteristic Curve:ICC)

項目特性曲線 (item characteristic curve:ICC)とは、項目反応理論において各項目ごとに推定される曲線である。x軸は測定する特性値、y軸にはその特性を持っている場合に各項目が正答となる確率(正答率)となる。

ICCは、困難度(正当となるにはどのくらい高い特性値が必要か）と識別力(項目はどの程度の特性値を識別することに長けているか）という２つのパラメータを持つ。

図１が示すグラフは、項目の識別力(a)と困難度(b)によってテスト項目の正答確率を表現しようとするモデル。横軸は受験者の能力値(θ)、縦軸は該当項目の正答率となる。横軸の能力値(θ)が増加するにつれて、縦軸の正答確率が向上することを表現している。識別力(a)と困難度(b)の分離することによって、テスト項目や受験者集団に依存する問題を克服することができる。

項目特性曲線(2PLM)の実装

2PLMの場合は、
(1)
a=識別度、b=困難度、c=0、D=1.7(定数)、j=項目番号、θ=受験者能力、exp=指数関数で求めることができる。

一般的には、以下のようなグラフとなる。

実装

データはここからダウンロードして、"testeg.csv"を読み込む。

IRT.R

#データの読み込み
data <-read.csv("testeg.csv")

#項目反応パン行列
dim(data)
#20 11

#正答者数n_j
apply(data[,2:11],2,sum)
# q1  q2  q3  q4  q5  q6  q7  q8  q9 q10 
# 13  17  13  12  18  16  15   8   4  15 

#項目特性値
library(ltm)
descript(data[,2:11])

これによって、困難度(b)と識別力(a)を求めることができた。

求めたい項目特性曲線の困難度(b)と識別力(a)を方程式(1)に代入し、項目特性曲線（2PLM）を生成しましょう。以下はコードです（c=0、D=1.7(定数)。

IRT.R

#項目1
# a = 0.6278, b = 0.65 , c = 0.0
curve((1 + 0)/(1 + exp(-1.7*0.6278*(x-0.65))), -3, 3, col = "black", lty = 1, ylab = "正答率") 

#項目2
# a = 0.4027, b = 0.85, c = 0.0
curve((1 + 0)/(1 + exp(-1.7*0.4027*(x-0.85))), -3, 3, col = "red", lty = 2, add = TRUE)

#項目5
# a = 0.3676, b = 0.90, c = 0.0
curve((1 + 0)/(1 + exp(-1.7*0.3676*(x-0.90))), -3, 3, col = "blue", lty = 3, add = TRUE) 

#凡例を生成
legend("topleft", 
       legend = c("Q1:a = 0.6278, b = 0.65, c = 0.0", "Q2:a = 0.4027, b = 0.85, c = 0.0", "Q5:a = 0.3676, b = 0.90, c = 0.0"), 
       col = c("black", "red", "blue"),
       lty = 1:4, cex = 1.0)

上記のコードを実装すれば、下記のような項目特性曲線（2PLM）が生成された。

解説

グラフからわかったのは、

１、横軸は受験者の能力値(x)、縦軸は該当項目の正答率となり、横軸の能力値(x)が増加するにつれて、縦軸の正答確率が向上することを表現している。

２、同じ能力を持つ受験者において、項目の難易度順がQ5＞Q2＞Q1となる。

３、仮に同じ回答率60%を達成する場合、項目Q1に応じる能力が1.1、項目Q2に応じる能力が1.5、項目Q5に応じる能力が1.7である。

さいごに

いかがでしょうか。 Rで実装するのはシンプルだが、理論を理解するのは時間がかかる。今回はほんの一部を書いてみたが、余裕があったら、記事編集して充実させたいと思う。

参考文献

（１）項目反応理論とは：https://ja.wikipedia.org/wiki/項目応答理論
（２）項目特性曲線 (item characteristic curve:ICC)とは：https://clover.fcg.world/2016/06/28/5621/
（３）加藤健太郎,川端一光,山田剛史（2014年）「Rによる項目反応理論」株式会社オーム社