私も含め、数弱のためにわかりやすく書きました。解説を読んでいただければ、わかりやすいかと思います。最低限偏微分の知識が必要です。
グレイスコット方程式
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = D_u \nabla^2 u - uv^2 + F(1 - u)
$$
$$
\frac{\partial v}{\partial t} = D_v \nabla^2 v + uv^2 - (F + k)v
$$
$u$と$v$はそれぞれ、反応物Aと反応物によって生成される物質Bの濃度を表す
$D_u$と$D_v$は$u$と$v$の拡散係数
$F$は供給率で外部からの$u$の供給と反応のバランスを表す
$k$は消失率で$v$の消失を表す
$\nabla^2$はラプラシアン演算子で物質の空間的な拡散を表すことができる
$-uv^2$はuとvの非線形反応項で特定の条件下での自発的なパターン形成を引き起こす
$F(1-u)$は供給項で外部からuを供給する
$-(F+k)v$は消失項であり、$v$が全体から消失する速度を表す
ラプラシアン
2次元空間でのスカラー場$\phi$を表すラプラシアンは
$$
\nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}
$$
となる。$\phi$の二階偏微分のそれぞれの和である。
スカラー場もしくはベクトル場の各点における変化の度合いを記述する
$$\frac{\partial u}{\partial t} = D_u \nabla^2 u - uv^2 + F(1 - u)$$
と
$$\frac{\partial v}{\partial t} = D_v \nabla^2 v + uv^2 - (F + k)v$$
解説
$$\frac{\partial u}{\partial t}$$
および
$$\frac{\partial v}{\partial t}$$
はΔtにおける物質uと物質vの濃度の変化量を表す。
$$D_u \nabla^2 u$$
$$D_v \nabla^2 v$$
はそれぞれ、$D_u$と$D_v$は拡散係数である。
$\nabla^2 u$と$\nabla^2 v$はそれぞれ、$u$と$v$の各方向(2次元の場合x,y)における拡散度合いを示す。そのため、これに拡散係数$D_u$ $D_v$をかけることによって拡散度合いが変化する
$$-uv^2$$
$$+uv^2$$
では上の式は、uが$v^2$と反応してuが消費される速度を表す。
下の式では、vがuと反応してvが生成されるのを表す。
$$F(1-u)$$は、uの供給項である。つまり、uの発生源である。Fはuがどれだけ発生するかを表す。また、(1-u)では、uの量が1に近ければ発生し、1に遠ければ発生しない。
$$-(F+k)v$$
では、Fは反応系の消失率を表す。kはvが全体から消失する速度を決定する。