シミュレーション

H = int(input())
P_dmg_1 = 1
P_dmg_2 = 1
M_dmg_1 = 1
M_dmg_2 = 1
#turnは３から
#Hははじめから２減らす
turn = 2
H = 35- 2
while True:
    turn += 1
    P_dmg_1 = P_dmg_2
    P_dmg_2 = M_dmg_1 + M_dmg_2
    M_dmg_1 = M_dmg_2
    M_dmg_2 = P_dmg_1  + P_dmg_2 * 2
    
    H -= M_dmg_2
    if H < 0:
        break

print(turn)

H = int(input())
P_dmg_1 = 1
P_dmg_2 = 1
M_dmg_1 = 1
M_dmg_2 = 1
#turnは３から
#Hははじめから２減らす
turn = 2
H = 35- 2
while True:
    turn += 1
    P_dmg_1 = P_dmg_2
    P_dmg_2 = M_dmg_1 + M_dmg_2
    M_dmg_1 = M_dmg_2
    M_dmg_2 = P_dmg_1  + P_dmg_2 * 2
    #とりあえずプリント
    print(P_dmg_1)
    print(P_dmg_2)
    print(M_dmg_1)
    print(M_dmg_2)
    
    H -= M_dmg_2
    if H < 0:
        break

print(turn)

1　←　P２回目
2 ←　P３回目
1　←　M２回目
5　←　M３回目（？？？）
2　
6
5
14
6
19
14
44

手動で計算すると
ケース１
１回目
HP 7
Pの攻撃1
Mの攻撃1

２回目
HP 6
Pの攻撃1
Mの攻撃1

3回目
HP 5
Pの攻撃 1+1 = 2
Mの攻撃1 1*2 + 1 = 3

4回目
HP 2
Pの攻撃 2+1 = 3
Mの攻撃1 3*2 + 1 = 7
この時点HP０

---

ケース２
１回目
HP 35
Pの攻撃1
Mの攻撃1

２回目
HP 34
Pの攻撃1
Mの攻撃1

3回目
HP 33
Pの攻撃 1+1 = 2
Mの攻撃1 1*2 + 1 = 3

4回目
HP 30
Pの攻撃 ３+1 = 4
Mの攻撃1 2*2 + 1 = 5

5回目
HP 25
Pの攻撃 5+3 = 8
Mの攻撃1 5*2 + 3 = 13

6回目
HP 13
Pの攻撃 13+5 = 18
Mの攻撃1 13*2 + 5 = 31

この時点でHP0

なので、ちょっと変ですね。。。
なんでかというと、
P_dmg_1 = P_dmg_2
P_dmg_2 = M_dmg_1 + M_dmg_2
M_dmg_1 = M_dmg_2
M_dmg_2 = P_dmg_1 + P_dmg_2 * 2

これだと、P_dmg_2はすでに今回分になってしまっているので、前回分のにならないからですね。。。orz

だから、ずらす動作と、計算要素は別にしないとだめらしいです。
時間がもうなかったので答えを見ました。
こっちは配列ですが思った通りずらしてましたね。。。

H = int(input())
a = [0, 1, 1]
b = [0, 1, 1]
dmg = 2
i = 2
while dmg < H:
    a[0] = a[1]
    a[1] = a[2]
    b[0] = b[1]
    b[1] = b[2]
    
    a[2] = b[0] + b[1]
    b[2] = a[0] + 2*a[1]
    
    dmg += b[2]
    
    i += 1

print(i)

勉強になりました！