下記論文は日本人の方が、なんとあのコラッツ予想を証明したということでarXiv二投稿したものです。真偽はまだ不明な訳ですが、大変興味深いので下記にChatGPTで訳しました。

「A PROOF OF THE COLLATZ CONJECTURE」

論文タイトル

Collatz予想の証明

著者

TOSHIHARU KAWASAKI

アブストラクト

本論文では、距離空間における新たな不動点定理を示す。さらに、この不動点定理を用いることにより、Collatz予想が正しいことを証明する。

はじめに

\mathbb{N} \stackrel{\mathrm{def}}{=} {1, 2, 3, \dots}

Cx \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
\displaystyle \frac{x}{2}, & \text{if x が偶数のとき}, \1mm]
3x+1, & \text{if x が奇数のとき}.
\end{cases}

任意のに対して、あるが存在し、となる。多くの研究者がこの予想の証明に挑戦してきた。

最も有名な論文のひとつは Tao [4] のものである。彼の論文では、

\operatorname{Colmin}(N) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \inf{N,, C(N),, C^2(N),, \dots}

定理 1.1.
をからへの関数で、であるとする。すると、対数密度の意味で「ほとんど全てのについて」

\operatorname{Colmin}(N) < f(N)

この定理を用いると、ほとんど全てのに対して

\operatorname{Colmin}(N) < \log\log\log\log N

本論文では、第2節で新たな距離空間上の不動点定理を示し、第3節でその不動点定理を用いてCollatz予想の真理を証明する。

不動点定理

ここでは、距離空間を考える。を上の距離とする。からへの写像
を考える。を写像とし、が
()-重み付き一般疑似縮小写像であるとは、任意のに対して

\alpha(x,y)d(Tx,Ty)^2 + \beta(x,y)d(x,Ty)^2 + \gamma(x,y)d(Tx,y)^2 + \delta(x,y)d(x,y)^2 + \varepsilon(x,y)d(x,Tx)^2 + \zeta(x,y)d(y,Ty)^2 \le 0

補題 2.1

任意のとに対して、

2\min{\theta,0}\bigl(d(x,z)^2 + d(z,y)^2\bigr) \le \theta, d(x,y)^2

証明.
三角不等式より

\lvert d(x,z) - d(z,y)\rvert \le d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)

d(x,z)^2 - 2,d(x,z)d(z,y) + d(z,y)^2 \le d(x,y)^2 \le d(x,z)^2 + 2,d(x,z)d(z,y) + d(z,y)^2.

\theta, d(x,z)^2 - 2\lvert\theta\rvert, d(x,z)d(z,y) + \theta, d(z,y)^2 \le \theta, d(x,y)^2.

\theta, d(x,z)^2 - 2\lvert\theta\rvert, d(x,z)d(z,y) + \theta, d(z,y)^2 = \lvert\theta\rvert,(d(x,z)-d(z,y))^2 + (\theta-\lvert\theta\rvert)(d(x,z)^2+d(z,y)^2)

\theta, d(x,z)^2 - 2\lvert\theta\rvert, d(x,z)d(z,y) + \theta, d(z,y)^2 \ge 2\min{\theta,0}\bigl(d(x,z)^2+d(z,y)^2\bigr).

補題 2.2

を距離空間、を ()-重み付き一般疑似縮小写像とする。からへの写像を任意に与えるとする。ここで、

\begin{aligned}
\alpha_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\alpha(x,y) + \lambda(x,y)\alpha(y,x),\1mm]
\beta_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\beta(x,y) + \lambda(x,y)\gamma(y,x),\1mm]
\gamma_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\gamma(x,y) + \lambda(x,y)\beta(y,x),\1mm]
\delta_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\delta(x,y) + \lambda(x,y)\delta(y,x),\1mm]
\varepsilon_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\varepsilon(x,y) + \lambda(x,y)\zeta(y,x),\1mm]
\zeta_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\zeta(x,y) + \lambda(x,y)\varepsilon(y,x).
\end{aligned}

証明.
前提より任意のに対して

\alpha(x,y)d(Tx,Ty)^2 + \beta(x,y)d(x,Ty)^2 + \gamma(x,y)d(Tx,y)^2 + \delta(x,y)d(x,y)^2 + \varepsilon(x,y)d(x,Tx)^2 + \zeta(x,y)d(y,Ty)^2 \le 0

\alpha_\lambda(x,y)d(Tx,Ty)^2 + \beta_\lambda(x,y)d(x,Ty)^2 + \gamma_\lambda(x,y)d(Tx,y)^2 + \delta_\lambda(x,y)d(x,y)^2 + \varepsilon_\lambda(x,y)d(x,Tx)^2 + \zeta_\lambda(x,y)d(y,Ty)^2 \le 0

定理 2.1

を距離空間、を ()-重み付き一般疑似縮小写像とする。さらに、からへの写像が存在し、次のいずれかの条件が任意のに対して成り立つとする：

\alpha_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min{\beta_\lambda(x,y),0} > 0

\delta_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min{\beta_\lambda(x,y),0} \ge 0;

\alpha_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min{\beta_\lambda(x,y),0} \ge 0

\delta_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min{\beta_\lambda(x,y),0} > 0;

\alpha_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min{\gamma_\lambda(x,y),0} > 0

\delta_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min{\gamma_\lambda(x,y),0} \ge 0;

\alpha_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min{\gamma_\lambda(x,y),0} \ge 0

\delta_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min{\beta_\lambda(x,y),0} > 0;

が存在して、任意のに対して

\alpha_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min{\beta_\lambda(x,y),0} > 0

\frac{-\delta_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min{\beta_\lambda(x,y),0}}{\alpha_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min{\beta_\lambda(x,y),0}} \le A,

\alpha_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min{\gamma_\lambda(x,y),0} > 0

\frac{-\delta_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min{\gamma_\lambda(x,y),0}}{\alpha_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min{\gamma_\lambda(x,y),0}} \le A.

このとき、任意のに対して列はコーシー列である。

証明（概略）.
補題 2.2 によりは ()-重み付き一般疑似縮小写像であることから、補題 2.1 を用いて上記不等式を各に対して適用する。場合分け（(1)～(5)の場合）により、各場合でまたは収束のための評価式が得られ、最終的にがコーシー列であることが示される。□

定理 2.2
を完備距離空間、を ()-重み付き一般疑似縮小写像とする。さらに、からへの写像が存在し、上記 (1)～(5) のいずれかの条件が任意のに対して成立するとする。すると、任意のに対して列は内の一点に収束する。

定理 2.3
を完備距離空間、を ()-重み付き一般疑似縮小写像とする。さらに、からへの写像が存在し、以下のいずれかの条件が任意のに対して成立するとする：

\alpha_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0} > 0,\quad \delta_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0} \ge 0;

\alpha_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0} \ge 0,\quad \delta_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0} > 0;

\alpha_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\gamma_\lambda(x,y),0} > 0,\quad \delta_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min{\gamma_\lambda(x,y),0} \ge 0;

\alpha_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\gamma_\lambda(x,y),0} \ge 0,\quad \delta_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0} > 0;

とが存在し、任意のに対して

\alpha_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0} > 0,

\frac{-\delta_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0}}{\alpha_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0}} \le A, ] かつ

\alpha_\lambda(x,y)+\beta_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y) \ge B,

\alpha_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\gamma_\lambda(x,y),0} > 0,

\frac{-\delta_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min{\gamma_\lambda(x,y),0}}{\alpha_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\gamma_\lambda(x,y),0}} \le A, ] かつ

\alpha_\lambda(x,y)+\gamma_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y) \ge B.

u = \lim_{n\to\infty} T^n x

証明（概略）.
(1) および (3) の場合、がの不動点集合となり、となる。 (2) および (4) の場合、の不動点集合は全体となり、となる。
(5) の場合についても、収束性の評価から列が収束し、を極限としたとき、がの不動点であることを示す。（詳細は本文参照。）□

Collatz予想の証明

を先に定義したように

Cx \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
\displaystyle \frac{x}{2}, & \text{x が偶数のとき}, \1mm]
3x+1, & \text{x が奇数のとき}.
\end{cases}

明らかに、である。なお、が奇数ならは偶数となるため、任意の奇数に対して

C^2 x = \frac{1}{2}(3x+1)

Tx \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
C^3 x = 1, & \text{if x = 1},\1mm]
Cx = \displaystyle \frac{x}{2}, & \text{if x が偶数のとき},\1mm]
C^2 x = \displaystyle \frac{1}{2}(3x+1), & \text{if x が奇数かつ x\ge 3}.
\end{cases}

また、距離を

d(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=} |x-y|

定理 3.1

以下の関数を上で定める。

まず、

\alpha(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
1, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
1, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
1, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
1, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}

\beta(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
0, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
-2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
\beta_0(x,y), & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}

\gamma(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
0, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
-1, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
-2, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
-\beta_0(x,y), & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}

\delta(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
0, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
-1, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
-2, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
-1, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
1, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
-2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
1, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
\delta_0(x,y), & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}

\varepsilon(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
-1, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
1, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
1, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
-1, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
-2, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
\varepsilon_0(x,y), & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}

\zeta(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
1, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
1, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
2, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
1, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
2, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
1, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
-2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
\zeta_0(x,y), & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}

\beta_0(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
-2, & \text{if k-\ell \le -2},\1mm]
k-\ell, & \text{if |k-\ell| \le 1},\1mm]
2, & \text{if k-\ell \ge 2},
\end{cases}

\delta_0(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \begin{cases} -2, & \text{if かつ , or if かつ },\1mm] -1, & \text{それ以外}, \end{cases} ]

\varepsilon_0(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
2, & \text{if k-\ell \le -2 かつ 11k-10\ell+1\le 0},\1mm]
0, & \text{それ以外},
\end{cases}

\zeta_0(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \begin{cases} 2, & \text{if かつ },\1mm] 0, & \text{それ以外}. \end{cases} ]

このとき、写像は ()-重み付き一般疑似縮小写像である。

証明（概略）.
各場合について、の場合分けを行い、およびの値を用いて

\alpha(x,y)d(Tx,Ty)^2 + \beta(x,y)d(x,Ty)^2 + \gamma(x,y)d(Tx,y)^2 + \delta(x,y)d(x,y)^2 + \varepsilon(x,y)d(x,Tx)^2 + \zeta(x,y)d(y,Ty)^2 \le 0

定理 3.2

任意のに対して、あるが存在し、

T^{t(x)}x = 1

証明.
定理 3.1 によりは ()-重み付き一般疑似縮小写像である。ここで、に対し距離を考えると、は完備距離空間となる。
また、写像を上の定数と定め、、、とおくと、定理 2.3 の条件 (5) が満たされることが確認できる。
（各場合において、例えばやとが偶数の場合、またが偶数の場合などで、

\alpha_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0} = \alpha(x,y)+\zeta(x,y)+2\min{\beta(x,y),0}

以上により、任意のに対しての不動点に収束し、かつの元同士の距離が 1 以上であることから、あるが存在してとなる。□

参考文献

[1] T. Kawasaki, “Fixed point theorems for widely more generalized hybrid mappings in metric spaces, Banach spaces and Hilbert spaces,” Journal of Nonlinear and Convex Analysis 19 (2018), 1675–1683.

[2] T. Kawasaki, “Fixed point and acute point theorems for new mappings in a Banach space,” Journal of Mathematics 2019 (2019), 12 pages.

[3] T. Kawasaki, “Fixed point and acute point theorems for generalized pseudocontractions in a Banach space,” Journal of Nonlinear and Convex Analysis 22 (2021), 1057–1075.

[4] T. Tao, “Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values,” Forum of Mathematics, Pi 10 (2022), 56 pages.

所属機関:
Faculty of Engineering, Tamagawa University, Tokyo 194–8610, Japan;
Faculty of Science, Chiba University, Chiba 263–8522, Japan

Email: toshiharu.kawasaki@nifty.ne.jp

論文の構成

Introduction
Fixed point theorem
Proof of the Collatz conjecture
References

以上が、原論文の日本語訳（数式や定義も可能な限り省略せずに記述したもの）となります。