下記論文は日本人の方が、なんとあのコラッツ予想を証明したということでarXiv二投稿したものです。真偽はまだ不明な訳ですが、大変興味深いので下記にChatGPTで訳しました。
「A PROOF OF THE COLLATZ CONJECTURE」
論文タイトル
Collatz予想の証明
著者
TOSHIHARU KAWASAKI
アブストラクト
本論文では、距離空間における新たな不動点定理を示す。さらに、この不動点定理を用いることにより、Collatz予想が正しいことを証明する。
- はじめに
\mathbb{N} \stackrel{\mathrm{def}}{=} {1, 2, 3, \dots}
Cx \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
\displaystyle \frac{x}{2}, & \text{if x が偶数のとき}, \1mm]
3x+1, & \text{if x が奇数のとき}.
\end{cases}
任意の に対して、ある が存在し、 となる。多くの研究者がこの予想の証明に挑戦してきた。
最も有名な論文のひとつは Tao [4] のものである。彼の論文では、
\operatorname{Colmin}(N) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \inf{N,, C(N),, C^2(N),, \dots}
定理 1.1.
を から への関数で、 であるとする。すると、対数密度の意味で「ほとんど全ての について」
\operatorname{Colmin}(N) < f(N)
この定理を用いると、ほとんど全ての に対して
\operatorname{Colmin}(N) < \log\log\log\log N
本論文では、第2節で新たな距離空間上の不動点定理を示し、第3節でその不動点定理を用いてCollatz予想の真理を証明する。
- 不動点定理
ここでは、距離空間 を考える。 を 上の距離とする。 から への写像
を考える。 を写像とし、 が
()-重み付き一般疑似縮小写像 であるとは、任意の に対して
\alpha(x,y)d(Tx,Ty)^2 + \beta(x,y)d(x,Ty)^2 + \gamma(x,y)d(Tx,y)^2 + \delta(x,y)d(x,y)^2 + \varepsilon(x,y)d(x,Tx)^2 + \zeta(x,y)d(y,Ty)^2 \le 0
補題 2.1
任意の と に対して、
2\min{\theta,0}\bigl(d(x,z)^2 + d(z,y)^2\bigr) \le \theta, d(x,y)^2
証明.
三角不等式より
\lvert d(x,z) - d(z,y)\rvert \le d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)
d(x,z)^2 - 2,d(x,z)d(z,y) + d(z,y)^2 \le d(x,y)^2 \le d(x,z)^2 + 2,d(x,z)d(z,y) + d(z,y)^2.
\theta, d(x,z)^2 - 2\lvert\theta\rvert, d(x,z)d(z,y) + \theta, d(z,y)^2 \le \theta, d(x,y)^2.
\theta, d(x,z)^2 - 2\lvert\theta\rvert, d(x,z)d(z,y) + \theta, d(z,y)^2 = \lvert\theta\rvert,(d(x,z)-d(z,y))^2 + (\theta-\lvert\theta\rvert)(d(x,z)^2+d(z,y)^2)
\theta, d(x,z)^2 - 2\lvert\theta\rvert, d(x,z)d(z,y) + \theta, d(z,y)^2 \ge 2\min{\theta,0}\bigl(d(x,z)^2+d(z,y)^2\bigr).
補題 2.2
を距離空間、 を ()-重み付き一般疑似縮小写像とする。 から への写像 を任意に与えるとする。ここで、
\begin{aligned}
\alpha_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\alpha(x,y) + \lambda(x,y)\alpha(y,x),\1mm]
\beta_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\beta(x,y) + \lambda(x,y)\gamma(y,x),\1mm]
\gamma_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\gamma(x,y) + \lambda(x,y)\beta(y,x),\1mm]
\delta_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\delta(x,y) + \lambda(x,y)\delta(y,x),\1mm]
\varepsilon_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\varepsilon(x,y) + \lambda(x,y)\zeta(y,x),\1mm]
\zeta_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\zeta(x,y) + \lambda(x,y)\varepsilon(y,x).
\end{aligned}
証明.
前提より任意の に対して
\alpha(x,y)d(Tx,Ty)^2 + \beta(x,y)d(x,Ty)^2 + \gamma(x,y)d(Tx,y)^2 + \delta(x,y)d(x,y)^2 + \varepsilon(x,y)d(x,Tx)^2 + \zeta(x,y)d(y,Ty)^2 \le 0
\alpha_\lambda(x,y)d(Tx,Ty)^2 + \beta_\lambda(x,y)d(x,Ty)^2 + \gamma_\lambda(x,y)d(Tx,y)^2 + \delta_\lambda(x,y)d(x,y)^2 + \varepsilon_\lambda(x,y)d(x,Tx)^2 + \zeta_\lambda(x,y)d(y,Ty)^2 \le 0
定理 2.1
を距離空間、 を ()-重み付き一般疑似縮小写像とする。さらに、 から への写像 が存在し、次のいずれかの条件が任意の に対して成り立つとする：
\alpha_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min{\beta_\lambda(x,y),0} > 0
\delta_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min{\beta_\lambda(x,y),0} \ge 0;
\alpha_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min{\beta_\lambda(x,y),0} \ge 0
\delta_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min{\beta_\lambda(x,y),0} > 0;
\alpha_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min{\gamma_\lambda(x,y),0} > 0
\delta_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min{\gamma_\lambda(x,y),0} \ge 0;
\alpha_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min{\gamma_\lambda(x,y),0} \ge 0
\delta_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min{\beta_\lambda(x,y),0} > 0;
- が存在して、任意の に対して
\alpha_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min{\beta_\lambda(x,y),0} > 0
\frac{-\delta_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min{\beta_\lambda(x,y),0}}{\alpha_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min{\beta_\lambda(x,y),0}} \le A,
\alpha_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min{\gamma_\lambda(x,y),0} > 0
\frac{-\delta_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min{\gamma_\lambda(x,y),0}}{\alpha_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min{\gamma_\lambda(x,y),0}} \le A.
このとき、任意の に対して列 はコーシー列である。
証明（概略）.
補題 2.2 により は ()-重み付き一般疑似縮小写像であることから、補題 2.1 を用いて上記不等式を各 に対して適用する。場合分け（(1)～(5)の場合）により、各場合で または収束のための評価式が得られ、最終的に がコーシー列であることが示される。□
定理 2.2
を完備距離空間、 を ()-重み付き一般疑似縮小写像とする。さらに、 から への写像 が存在し、上記 (1)～(5) のいずれかの条件が任意の に対して成立するとする。すると、任意の に対して列 は 内の一点に収束する。
定理 2.3
を完備距離空間、 を ()-重み付き一般疑似縮小写像とする。さらに、 から への写像 が存在し、以下のいずれかの条件が任意の に対して成立するとする：
\alpha_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0} > 0,\quad \delta_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0} \ge 0;
\alpha_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0} \ge 0,\quad \delta_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0} > 0;
\alpha_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\gamma_\lambda(x,y),0} > 0,\quad \delta_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min{\gamma_\lambda(x,y),0} \ge 0;
\alpha_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\gamma_\lambda(x,y),0} \ge 0,\quad \delta_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0} > 0;
- と が存在し、任意の に対して
\alpha_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0} > 0,
\frac{-\delta_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0}}{\alpha_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0}} \le A, ] かつ
\alpha_\lambda(x,y)+\beta_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y) \ge B,
\alpha_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\gamma_\lambda(x,y),0} > 0,
\frac{-\delta_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min{\gamma_\lambda(x,y),0}}{\alpha_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\gamma_\lambda(x,y),0}} \le A, ] かつ
\alpha_\lambda(x,y)+\gamma_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y) \ge B.
|\alpha(x,y)|\le M,\quad |\beta(x,y)|\le M,\quad |\gamma(x,y)|\le M,\quad |\delta(x,y)|\le M,\quad |\varepsilon(x,y)|\le M,\quad |\zeta(x,y)|\le M
u = \lim_{n\to\infty} T^n x
証明（概略）.
(1) および (3) の場合、 が の不動点集合となり、 となる。 (2) および (4) の場合、 の不動点集合は 全体となり、 となる。
(5) の場合についても、収束性の評価から列 が収束し、 を極限としたとき、 が の不動点であることを示す。（詳細は本文参照。）□
- Collatz予想の証明
を先に定義したように
Cx \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
\displaystyle \frac{x}{2}, & \text{x が偶数のとき}, \1mm]
3x+1, & \text{x が奇数のとき}.
\end{cases}
明らかに、 である。なお、 が奇数なら は偶数となるため、任意の奇数 に対して
C^2 x = \frac{1}{2}(3x+1)
Tx \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
C^3 x = 1, & \text{if x = 1},\1mm]
Cx = \displaystyle \frac{x}{2}, & \text{if x が偶数のとき},\1mm]
C^2 x = \displaystyle \frac{1}{2}(3x+1), & \text{if x が奇数かつ x\ge 3}.
\end{cases}
また、距離 を
d(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=} |x-y|
定理 3.1
以下の関数を 上で定める。
まず、
\alpha(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
1, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
1, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
1, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
1, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}
\beta(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
0, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
-2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
\beta_0(x,y), & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}
\gamma(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
0, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
-1, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
-2, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
-\beta_0(x,y), & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}
\delta(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
0, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
-1, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
-2, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
-1, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
1, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
-2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
1, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
\delta_0(x,y), & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}
\varepsilon(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
-1, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
1, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
1, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
-1, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
-2, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
\varepsilon_0(x,y), & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}
\zeta(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
1, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
1, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
2, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
1, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
2, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
1, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
-2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
\zeta_0(x,y), & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}
\beta_0(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
-2, & \text{if k-\ell \le -2},\1mm]
k-\ell, & \text{if |k-\ell| \le 1},\1mm]
2, & \text{if k-\ell \ge 2},
\end{cases}
\delta_0(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \begin{cases} -2, & \text{if かつ , or if かつ },\1mm] -1, & \text{それ以外}, \end{cases} ]
\varepsilon_0(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
2, & \text{if k-\ell \le -2 かつ 11k-10\ell+1\le 0},\1mm]
0, & \text{それ以外},
\end{cases}
\zeta_0(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \begin{cases} 2, & \text{if かつ },\1mm] 0, & \text{それ以外}. \end{cases} ]
このとき、写像 は ()-重み付き一般疑似縮小写像である。
証明（概略）.
各場合について、 の場合分けを行い、 および の値を用いて
\alpha(x,y)d(Tx,Ty)^2 + \beta(x,y)d(x,Ty)^2 + \gamma(x,y)d(Tx,y)^2 + \delta(x,y)d(x,y)^2 + \varepsilon(x,y)d(x,Tx)^2 + \zeta(x,y)d(y,Ty)^2 \le 0
定理 3.2
任意の に対して、ある が存在し、
T^{t(x)}x = 1
証明.
定理 3.1 により は ()-重み付き一般疑似縮小写像である。ここで、 に対し距離 を考えると、 は完備距離空間となる。
また、写像 を 上の定数 と定め、、、 とおくと、定理 2.3 の条件 (5) が満たされることが確認できる。
（各場合において、例えば や と が偶数の場合、また が偶数の場合などで、
\alpha_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0} = \alpha(x,y)+\zeta(x,y)+2\min{\beta(x,y),0}
以上により、任意の に対して の不動点 に収束し、かつ の元同士の距離が 1 以上であることから、ある が存在して となる。□
参考文献
[1] T. Kawasaki, “Fixed point theorems for widely more generalized hybrid mappings in metric spaces, Banach spaces and Hilbert spaces,” Journal of Nonlinear and Convex Analysis 19 (2018), 1675–1683.
[2] T. Kawasaki, “Fixed point and acute point theorems for new mappings in a Banach space,” Journal of Mathematics 2019 (2019), 12 pages.
[3] T. Kawasaki, “Fixed point and acute point theorems for generalized pseudocontractions in a Banach space,” Journal of Nonlinear and Convex Analysis 22 (2021), 1057–1075.
[4] T. Tao, “Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values,” Forum of Mathematics, Pi 10 (2022), 56 pages.
所属機関:
Faculty of Engineering, Tamagawa University, Tokyo 194–8610, Japan;
Faculty of Science, Chiba University, Chiba 263–8522, Japan
Email: toshiharu.kawasaki@nifty.ne.jp
論文の構成
-
Introduction
-
Fixed point theorem
-
Proof of the Collatz conjecture
References
以上が、原論文の日本語訳（数式や定義も可能な限り省略せずに記述したもの）となります。