Can't connect to local MySQL server through socket '/var/lib/mysql/mysql.sock' (2)の解決まで。

原因:

helokuのMysqlとデプロイ使用しているデータベースが紐付けられていなかったため。

確認したこと

heroku info

実行後、データベースの環境変数を確認

CLEARDB_DATABASE_URL:     mysql://xxxxxxxxxxxx
CLEARDB_DATABASE_GREEN:   mysql://xxxxxxxxxxxx
LANG:                     en_US.UTF-8
RACK_ENV:                 production
RAILS_ENV:                production
RAILS_LOG_TO_STDOUT:      enabled
RAILS_SERVE_STATIC_FILES: enabled
SECRET_KEY_BASE:

あるはずのDATABASE_URL：がないし、mysql2でデータベース作ったはずなのに反映されてない・・・。

結論：

これは、ターミナルで

heroku config:set DATABASE_URL=mysql2${heroku_cleardb:5}

の入力がなく、mysql2のデータベースに環境変数を格納できていなかったため。

最後に：

環境変数を変更するため、herokuのHPのアプリのページへ遷移し、settingsをクリック。

画面中央のReveal Config Varsをクリック。Config Varsを編集して終了。

無事、

heroku run rake db:migrate

出来ました！