Quantum Chemistry - Superposition Principle 3: Example ##migrated

CG分野で使われるSpherical Harmonics。自分の数値シミュレーション計算に用いたいと思い調べると、量子化学の講義にたどり着く。

短く分かりやすそうな159本のビデオを少しずつ消化中。

Quantum Chemistry - Superposition Principle 3: Example
https://www.youtube.com/watch?v=f65sIWYGUIg&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh&index=35

重ね合わせの原理の例を見る
緑の式
- このビデオの右下ピンクの式
紫の式
- このビデオの右下緑の式
薄紫の式
- このビデオの左上緑の式
- f(x)にプサイ(x)を使っている
白の式
- このビデオの左下水色の式
- c_n*はc_nの複素共役
- c_nは複素数 (Cの太字)
ピンクの式
- normalization condition
- このビデオの右下オレンジの式
- normalizationにより総和の値が1となる
グラフ
- プサイnのグラフ
- n=1,n=2,n=5の場合
  - https://www.desmos.com/calculator/zqo7bncevb
  - において左上のn=1を2や5に変えた時の青の線
中段緑の定義
- n=1,2,5の時の係数
紫の式
- 左上薄紫の式に係数c_nと|n>のnを代入した
ピンクの式
- average energy
- c_nがsqrt(1/2)の時、その複素共役c_n*もsqrt(1/2)
  - 虚数単位iにかかる値が0のため
- 左上白の式のc_n*とc_n、E_nにそれぞれの値を代入した式
黄色の式
- ピンクの式のE_1などに左上紫の式(E_n=)を代入した
水色の式
- 黄色の式を整理して得られた
右上オレンジの式
- 状態nの測定の確率p_nを見る
- n=1,2,5についてみる
- n=3,4,6,...についてはc_n=0となる
- p_nはc_nの二乗に比例する、という説明をしている
  - p_n = という表記でなく
  - p_n ∝という表記が正しいだろう
緑の定義
- expt(Experiment: 実験で観測されるEnergy)
- 確率p_nはc_nに比例することからそれぞれのEnergyでの確率が得られる
- 左中段のc_1, c_2, c_5の定義から
- c_1は(1/2)のsqrtから50%
- c_2は(1/5)のsqrtから20%
- c_5は(3/10)のsqrtから30%
  - E_3という記載は間違いでE_5が正しい
- 合計すると100%
右下の図
- それぞれのEnergyの値と確率
- E_5の右25と記載はn=5の二乗
- E_1,E_2についても同様
- 右上緑の確率(50%, 20%, 30%)を記載
- (nの二乗)と確率をかけた値をn=1,2,5で平均すると<E>が8.8
  - 1 * 0.5 +
  - 4 * 0.2 +
  - 25 * 0.3 =
  - 8.8