Quantum Chemistry - Commutators ##migrated

CG分野で使われるSpherical Harmonics。自分の数値シミュレーション計算に用いたいと思い調べると、量子化学の講義にたどり着く。

短く分かりやすそうな159本のビデオを少しずつ消化中。

Quantum Chemistry - Commutators
https://www.youtube.com/watch?v=aG_L3gym0uU&index=29&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh

Commutators
- オペレータの順番を変えることができるかどうか、の話
緑の式
- オペレータAとオペレータBが関数f(x)に作用する場合
- オペレータBが作用した後に、オペレータAが作用する
- 行列の計算と同じように「右のものから先に作用する」
紫の式
- もしオペレータAとオペレータBがcommuteであれば
- オペレータの作用順番を交換しても同じとなる
  - commute: 可換と訳すことがある
ピンクの式
- commutatorsという定義
黄色
- もしオペレータAとオペレータBがcommuteであれば
- 作用の順番を変えても同じなので、ピンクの式は0となる
水色
- commutators [オペレータA, オペレータB]が0でない時は「不確実性」が存在することを表す
オレンジの式
- standard deviationの式
- こちらのビデオの右側中段紫の式 sigma_A squaredとして導出されているもののrootを取った
紫の式
- sigma_Aとsigma_Bの積は
- commutators: [オペレータA, オペレータB]の
- <> : average value (もしくは期待値)の
- || : 絶対値の
- 1/2倍の値である
- この式の出自は不明だったが、ビデオの人に聞いたら以下の情報を教えていただいた
  - Robertson uncertainty relation と関連がある
    - Wikipedia
  - Ozawa uncertainty relationとも関連あり
    - 小澤正直(Ozawa Masanao)さん
- この式は
- commutators: [オペレータA, オペレータB]の
- 前後にプサイ*()とプサイ()をかけたものの積分(dtau)の
- 1/2倍の値である
右上の緑の式
- momentumのオペレータと位置xのオペレータ
紫の式
- オペレータpxとオペレータxのcommutatorをf(x)に作用させたもの
- commutatorの定義は左のピンクの式にあるので
- 紫の式の右側のように展開できる
ピンクの式
- 紫の式に、右上緑の式(オペレータpx、オペレータx)を代入した
黄色の式
- ピンクの式を整理
水色の式
- 黄色の式をiヘイチバーで整理
- 第二項と第三項がプラスマイナスで消えてオレンジとなる
紫の式
- 右上の紫の式と、中段のオレンジの式からf(x)を消した式
緑の不等式
- 左下の紫の式にオペレータpx、オペレータxを代入したもの
ピンクの式
- 緑の式に中段の紫の式を代入
黄色の式
- ピンクの式で積分に関係ないiヘイチバーを出した
- プサイ*とプサイを全空間で積分すると1となる
  - 全空間での粒子の存在確率 = 100%
- 1/2 |-iヘイチバー|の計算
  - 複素平面において虚軸の負方向にヘイチバーとなった図
  - その絶対値というのは(大きさを取るだけなので)ヘイチバーとなる
  - 結果として、ヘイチバー/2が求まる
水色の式
- 右下緑の式がヘイチバー/2より大きい
- Heisenberg Uncertainty Principleが求まった
  - このビデオの左下の水色の不等式