Quantum Chemistry - Superposition Principle 1: Basis Sets ##migrated

CG分野で使われるSpherical Harmonics。自分の数値シミュレーション計算に用いたいと思い調べると、量子化学の講義にたどり着く。

短く分かりやすそうな159本のビデオを少しずつ消化中。

Quantum Chemistry - Superposition Principle 1: Basis Sets
https://www.youtube.com/watch?v=PHus6stbje0&index=33&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh

緑の式
- f(x)の定義
- それは係数c_nと関数プサイnの積の総和
- プサイnはket表記で|n>と書けるので3つ目が出て
- それは同様に関数fをket表記で|f>と書ける
紫
- {|n>}のことをbasis setと呼ぶ
  - (補足) basis: 基底と呼ぶことがある
ピンク
- |n>のことをbasis functionと呼ぶ
黄色
- c_nのセットは複素数 (Cの太字 @ 工学における特殊関数 p10)
- c_nのセットを係数と呼ぶ
水色
- f(x)は{|n>}空間における任意の関数である
オレンジ
- <m|n>はbra, ket表記の定義から2つ目の積分となる
  - bra, ket表記はこのビデオの左上の緑と紫
- それは粒子の存在確率を表し、m=nの時だけ1となり
- δmn(デルタmn)と記載される
紫の定義
- クロネッカーのデルタ
  - ディラックのデルタ関数とは別もの
  - @ マクスウェル・場と粒子の舞踏 (by 吉田武さん) p5
  - インデックスが同じ(m=n)時は1
  - それ以外は0 となることの表記
右上の緑の式
- mとfのbra,ket表記
- fは左上の緑の式の定義から、2つめの式が出る
  - c_nが積分とは無関係の係数でくくりだされ
  - c_n<m|n>の総和となる
- <m|n>は左下のオレンジの式からδmnとなるので
- c_n δmnの総和となる
- 総和はn=1から無限大まで
- クロネッカーのδの定義から総和においてn=mの時だけδmn=1
- それ以外のnの値ではδmnは0となる
- そのためc_mとなる (一番右のc_m)
紫の式
- |f>を見る
- 左上の緑の式から、2つ目のc_n|n>の総和が出る
- 右上の緑の式から、c_m = <m|f>となり
- 同様にc_n=<n|f>となる
- 3つ目の総和が出る
- 総和される値のくくり方を変えて4つ目が出る
ピンクの式
- 紫の式の1つ目と4つ目の項目の統合から求まる
- "Resolution of the Identity"と呼ばれる式
- それは
- statement of "completeness" of basis setである
- このstatementを使って例は後のビデオで出るようだ