関連 http://qiita.com/7of9/items/d3a1799928734375f34f
CG分野で使われるSpherical Harmonics。自分の数値シミュレーション計算に用いたいと思い調べると、量子化学の講義にたどり着く。
短く分かりやすそうな159本のビデオを少しずつ消化中。
Quantum Chemistry - Superposition Principle 2: Expectation Values
https://www.youtube.com/watch?v=H7aejrEU8Jo&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh&index=34
- average valueをどのように計算するかを見る
- 左上緑の式
- f(x)はket表記でこのように書ける
- このビデオの左上緑の式
- 左上紫の式
- nのket表記はプサイnを表す
- このビデオの左上緑の定義
- 左上ピンクの式
- mのbra表記はプサイ*mを表す
- このビデオの左上紫の定義
- プサイm*はプサイmの複素共役
- v = a + bi の複素共役 v* = a - bi
- 左上黄色の式
- このビデオの左側ピンクの式
- 積分範囲は実数R (Rの太字 @ 工学における特殊関数p10)
- それはプサイm*とプサイnの積の総和
- プサイm*はプサイmの複素共役
- 左上のオレンジの式
- ハミルトンオペレータとnのket表記の積
- このビデオの右上のTime Independent Schrodinger Equation
- プサイnをket表記で
|n>としている
- 左上の水色の式
- このビデオの左側黄色の式
- ただし、オペレータAの書き方がハットあり/なしで統一性がない
- 水色の式の方がハットの書き忘れっぽい
- 中段の緑の式
- fのket表記
- それはnのket表記(
|n>)に係数c_nをかけた値のn=1から無限大での総和- このビデオの左上の緑の式
- 中段の紫の式
- average value of E (Eの期待値とも言う)
- (補足)
<E>=<f|H|f>がどこから出てきたか - 紫の式一番右は
<f|と|f>をそれぞれ上の緑の式を用いて変形したもの-
<f|はfの複素共役 - インデックスはmとしている
- 係数c_mが複素数としてその複素共役c_m*が係数としてかかる
-
- ピンクの式
- 紫の式にて積分に関係ない係数を前に出した
- 黄色の式
- ピンクの式で黄色にマークした部分の式展開
- 上のオレンジの式を用いて
H|n>をE_n|n>に置き換える - E_nは積分とは関係ないため前に出して
-
<m|n>が残り、それはクロネッカーのデルタであるδmnとなる- m=nのときδmnは1
- m not equal nのときδmnは0
- このビデオのorthogonalityとも関係あり
- 水色の式
- ピンクの式と黄色の式から求まる
- δmnによりm=nの時の値しか残らないため、一番右の形(Emのみ残る)となる
- オレンジの式
- 水色の式においてCm*とCmはCmとその複素共役をかけているので絶対値の二乗となる
(a + bi)*(a - bi) = a*a - (-b*b) = (a*a + b*b)- (a + bi)の絶対値は (a*a + b*b)の平方根
- 水色の式においてCm*とCmはCmとその複素共役をかけているので絶対値の二乗となる
- 右上の緑
- E_expt : Experimental Energy
- 実験で実際に測定されるEnergy
- それはEの平均ではない
- それは集合{ E_n }の要素となる
- E_expt : Experimental Energy
- 右上の紫
- 2つ目までは左下のオレンジの式でmの表記をnに変更したもの
- それは重み付け平均の計算である
- 3つ目
-
<E>というのはE_nを測定する確率をかけたものの - n=1から無限大までの総和である
- ともいえる
-
- 2つ目までは左下のオレンジの式でmの表記をnに変更したもの
- 水色
- 紫の式から確率
p_nは係数c_nを使って表せる
- 紫の式から確率
- オレンジの式
- 確率
p_nについてn=1から無限大を取ると確率は1となる - normalization
- 確率
- 紫
- もし
<m|n>=δmnであれば - orthonormal basis setと呼ばれる
- orthonormal = orthogonal + normlization
- 直交と正規化
- もし