Quantum Chemistry - Hermitian Operators ##migrated

CG分野で使われるSpherical Harmonics。自分の数値シミュレーション計算に用いたいと思い調べると、量子化学の講義にたどり着く。

短く分かりやすそうな159本のビデオを少しずつ消化中。

Quantum Chemistry - Hermitian Operators
https://www.youtube.com/watch?v=0Q_KmTOy07E&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh&index=30

緑の文字
- postulate
  - このビデオから
    - trueとして証明されていない
    - trueとして考えられている(given)
    - predictionの妥当性を見てチェックされる
- 観測できる特性は固有値である
紫の先
- 固有値関数
  - 関数プサイnにオペレータAを作用させた値は
  - 関数プサイnに係数a_nがかかった値となる
ピンクの式
- Aのaverage value
- Aの期待値とも言う
- その定義はオペレータAの前後にプサイn*とプサイnをかけたものの積分
  - プサイn*はプサイnの複素共役
    - v=a+biの複素共役v*はa-bi
- 紫の式を使ってオペレータAとプサンnの積をa_nとプサイnの積に置き換え
- プサイ*とプサイの積の全空間での積分は1となるので
  - 全空間での粒子の存在確率 = 100%
- aだけが残る
- すなわち、Aのaverage value = a
黄色の文字
- postulate
- 物理的に観測可能なものは実数である
- 係数a_nは実数 (Rの太字 @ 工学における特殊関数 p10)
- a_nは実数なので (a_n = a + 0i)、その複素共役はa_n* = (a - 0i) = a
水色の式
- 紫の式の複素共役をとったもの
- a_n = a_n* なのでこのような式になる
オレンジの式
- average value of Aの複素共役を取る
- オペレータAの複素共役に対してプサイとプサイ*の積の積分
  - プサイ*の複素共役 = プサイ
  - プサイの複素共役 = プサイ*
  - が考慮されている
- それは水色の式を用いて係数a_n*の式となる
- 係数a_n*は積分と関係なく外に出せるので
- プサイとプサイの積だけ積分となり、それは1なのでaだけが出る
- 黄色の式からa* = a
もしHermitian であれば
- オペレータAのプサイ*とプサイの積の積分は
- オペレータAの複素共役のプサイとプサイ*の積の積分に等しい
紫の式
- ピンクの式、オレンジの式、緑の式から求まる
右上のピンクの式
- Eigenfunction(固有関数)に関しては、ピンクの式が成り立つ
- これまでの導出から
黄色の式
- General(一般の関数)に関しては
- オペレータA、関数f(x)の関係式としてこの式が有効になる
- その積分空間は実数 (Rの太字)
水色の式
- オペレータA, ほとんどの一般関数、関数fm(x), 関数fn(x)に対して成り立つ
- その積分空間は実数 (Rの太字)