結論

事前に取得したい要素に対してref属性を設定しておきます。「methodsで定義した関数内」で使用するときはthis.$refs.{refに設定した属性名}で要素を取得できます。

前提

もし自分で定義したコンポーネントでもrefを指定することで取得することができます。
ただし、コンポートネントを取得した場合とHTMLを取得した場合は型が異なるようです。
もし、コンポーネント内の要素を取得したい場合、取得したコンポーネントに.$elを使用することで取得できます。

以上です。