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条件付き確率

ある事象が起こるという条件のもとで、別のある事象が起こる確率のこと
事象Bが起こるという条件のもとで事象Aが起こる場合、この条件付き確率はP(A|B)と表され、次の式のより計算できる

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

例1：次の図の袋の中には、赤い玉が3つ、白い玉が3つ入っている。赤い玉のうち2つには「1」、残りの1つには「2」と書かれている。一方、白い玉のうち2つには「2」、残りの1つには「1」と書かれている。この袋の中から玉を1つ取り出す時、「1」と書かれた赤色の玉が取り出される確率はいくらか。

6個の玉の中に「1」と書かれた赤色の玉は2個あるので、\frac{2}{6}=\frac{1}{3}となる

例2：例1と同じ袋の中から玉を1つ取り出した時、その玉は赤色だった。この赤い玉に「1」と書かれている確率はいくらか。

\displaylines{
例1と同じように「玉は全部で6個あり、赤い玉で「１」と書かれた玉は2個あるから、\frac{2}{6}=\frac{1}{3}となると考えてはいけない。\\
今回は、すでに玉の色は赤色とわかっていることを考慮すう必要がある。\\
条件付き確率の式に当てはめて計算する。\\
・P(赤玉である) = \frac{3}{6}=\frac{1}{2} \\
・p(1と書いてある \cap 赤玉である) = \frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\
したがって、求める確率は、\\
\frac{\frac{2}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \\
この結果から、3個の赤玉のうち1と書かれた玉は2個あるので、1が取り出される確率は\frac{2}{3}であることを意味する。
}

乗法定理

事象Bが起こるという条件のもとで事象Aが起こる条件付き確率P(A|B)は以下の式から求められることは上記で説明した通りである。

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

この条件付き確率の式の蝋編にP(B)をかけて変形した以下の式が乗法定理という。

P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)

もしくは、AとBを入れ替えて次のように書くこともできる。

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

例：4本の当たりを含んだ10本のくじがある。この中から太郎さんがくじを1本引き、そのくじを戻さずに花子さんがくじを引くとき、太郎さんも花子さんも当たりくじを引く確率はいくらか。

太郎さんの結果によって、花子さんの当たりくじをひく確率は変化するため、2つの事象は独立ではない。こういった時に乗法定理を用いる。

太郎さんが当たりくじを引く確率をP(A)、花子さんが当たりくじを引く確率をP(B)とする。

\displaylines{
・太郎さんが当たりくじを引く確率P(A)=\frac{4}{10} \\
・太郎さんが当たりくじを引いた後で、それを戻さずに花子さんが当たりくじを引く確率P(B)=\frac{3}{9}
}

となることから、両者が当たりを引く確率は乗法定理を用いて次のようになる。

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{2}{15}
}

ベイズの定理

結果からどういう原因か推定する際に用いる

\displaylines{
事象Aが起こるという条件のもとで、k種類の事象B(B_1, B_2,・・・,B_k:ただしこれらは互いに排反とする)が起こるとする。\\
この時事象Aが起こるという条件のもとで事象B_iが起こる条件付き確率P(B_i|A)は次の式から求められる。\\
P(B_i|A) = \frac{P(A \cap B_i)}{P(A)}・・・① \\
ここで乗法定理P(A \cap B_i)=P(B_i) \times P(A|B_i)を①に代入する。\\
これがベイズの定理である。\\
P(B_i|A) = \frac{P(A \cap B_i)}{P(A)} = \frac{P(B_iP(A|B_i)}{P(A)}・・・② \\
P(A)は、P(A)=P(A \cap B_1)+P(A \cap B_2)+・・・+P(A \cap B_k)とかける。これは、以下の図のそれぞれの事象B_1, B_2,・・・,B_kにおける赤い事象Ano部分を足し合わせたものだと考えられる。
}

\displaylines{
この式を②に代入する。\\
p(B_i|A) = \frac{(A \cap B_i)}{P(A)} = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A \cap B_1)+P(A \cap B_2)+・・・P(A \cap B_k)}・・・③ \\
③にも乗法定理P(A \cap B_i) = P(B_i) \times P(A|B_i)を適用すると、次の式が導かれる。\\
P(B_i|A) \\
= \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A \cap B_1)+P(A \cap B_2)+・・・+P(A \cap B_k)+} \\
= \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^kP(B_j)P(A|B_j)}
}