圏で定義された群

モノイド$(\mathbb{1},\cdot,id_*)$であって，全ての射が同型射であるとき群という．
$\mathbb{G}:=(\mathbb{1},\cdot,id_*)$と表す．
任意の射$g\in\mathbb{G}$に対して逆射$g^{-1}\in\mathbb{G}$が存在して，$g\cdot g^{-1}=g^{-1}\cdot g=e$が成り立つ．

群はモノイダル圏となる

テンソル積$\otimes:\mathbb{G}\times\mathbb{G}\to\mathbb{G}$を

*\otimes*=*

と定義する．
すると$\otimes$は結合法則を満たし，$*$を単位対象としてモノイダル圏となる．

ベクトル空間の圏

体$K$上のベクトル空間を対象とし，その間の線形写像を射とする圏を体$K$上のベクトル空間の圏とし$\mathbb{Vect}_K$と表す．
特にこだわらない限り$\mathbb{Vect}_K$を$\mathbb{Vect}$と記す．

ベクトル空間の圏はモノイダル圏となる．

テンソル積$\otimes:\mathbb{Vect}_K\times\mathbb{Vect}_K\to\mathbb{Vect}_K$を通常のベクトル空間のテンソル積を用いて，
任意のベクトル空間$V,W\in\mathbb{Vect}_K$に対して

V\otimes W

を対応させる函手とする．
単位対象を$K\in\mathbb{Vect}_K$とする．
すると確かにモノイダル圏となる．

表現の圏

値域が$\mathbb{Vect}_K$となるプロ函手の圏$\mathbb{Prof}_{\mathbb{Vect}_K}(\mathbb{G},\mathbb{Vect}_K)$を考える．
このとき$\mathbb{Prof}_{\mathbb{Vect}_K}(\mathbb{G},\mathbb{Vect}_K)$の対象$P:\mathbb{G^{op}}\times\mathbb{Vect}_K\to\mathbb{Vect}_K$で，

P_{(V)}^{(*)}=V

となるものは群の表現を与える．
実際$V\in\mathbb{Vect}_K$とし，$id_*\in\text{Hom}(\mathbb{G},\mathbb{G})$に対して，

P_{(V)}^{id_*}=id_{P_{(V)}^{(*)}}=id_V

となる，つまり$\mathbb{v}\in V$に対して，

P_{(V)}^{id_*}(\mathbb{v})=\mathbb{v}

また，$g,h\in\text{Hom}(\mathbb{G},\mathbb{G})$に対して，

P_{(V)}^{(g\cdot h)}=P_{(V)}^{(h)}\cdot P_{(V)}^{(g)}

また，$\mathbb{Vect}_K$の射$f:V\to W$は自然変換を定める．

P_{(f)}^\mathbb{G}:P_{(V)}^\mathbb{G}\to P_{(W)}^\mathbb{G}