結合律
前回定義したDay畳み込みには単位元が存在した．
今回はDay畳み込みには結合法則が成り立つことを確認する．
圏$\mathscr{C,D}$をモノイダル圏とし，$F_\mathscr{D}^\mathscr{C},G_\mathscr{D}^\mathscr{C},H_\mathscr{D}^\mathscr{C}$をモノイダルプロ函手とする．
\begin{align}
(F\star(G\star H))_\mathscr{D}^\mathscr{C} &= \overline{\bigoplus_{\substack{A,C\in\mathscr{C}\\B,D\in\mathscr{D}}}}F^{(A)}_{(B)}(G\star H)^{(C)}_{(D)}\Delta_{(A\otimes C)}^{\mathscr{C}}\Delta^{(B\otimes D)}_{\mathscr{D}}\\
&= \overline{\bigoplus_{\substack{A,C\in\mathscr{C}\\B,D\in\mathscr{D}}}}F^{(A)}_{(B)}\left(\overline{\bigoplus_{\substack{W,Y\in\mathscr{C}\\X,Z\in\mathscr{D}}}}G^{(W)}_{(X)}H^{(Y)}_{(Z)}\Delta_{(W\otimes Y)}^{(C)}\Delta^{(X\otimes Z)}_{(D)}\right)\Delta_{(A\otimes C)}^{\mathscr{C}}\Delta^{(B\otimes D)}_{\mathscr{D}}
\end{align}
積とコエンドは交換するので，
\begin{align}
&= \overline{\bigoplus_{\substack{A,C,W,Y\in\mathscr{C}\\B,D,X,Z\in\mathscr{D}}}}F^{(A)}_{(B)}G^{(W)}_{(X)}H^{(Y)}_{(Z)}\Delta_{(W\otimes Y)}^{(C)}\Delta^{(X\otimes Z)}_{(D)}\Delta_{(A\otimes C)}^{\mathscr{C}}\Delta^{(B\otimes D)}_{\mathscr{D}}\\
&= \overline{\bigoplus_{\substack{A,W,Y\in\mathscr{C}\\B,X,Z\in\mathscr{D}}}}F^{(A)}_{(B)}G^{(W)}_{(X)}H^{(Y)}_{(Z)}\Delta_{(A\otimes(W\otimes Y))}^{\mathscr{C}}\Delta^{(B\otimes(X\otimes Z))}_{\mathscr{D}}\\
&\simeq \overline{\bigoplus_{\substack{A,W,Y\in\mathscr{C}\\B,X,Z\in\mathscr{D}}}}F^{(A)}_{(B)}G^{(W)}_{(X)}H^{(Y)}_{(Z)}\Delta_{((A\otimes W)\otimes Y)}^{\mathscr{C}}\Delta^{((B\otimes X)\otimes Z)}_{\mathscr{D}}\\
&= \overline{\bigoplus_{\substack{A,C,W,Y\in\mathscr{C}\\B,D,X,Z\in\mathscr{D}}}}F^{(A)}_{(B)}G^{(W)}_{(X)}H^{(Y)}_{(Z)}\Delta_{(A\otimes W)}^{(C)}\Delta_{(D)}^{(B\otimes X)}\Delta_{(C\otimes Y)}^{\mathscr{C}}\Delta^{(D\otimes Z)}_{\mathscr{D}}\\
&= \overline{\bigoplus_{\substack{C,Y\in\mathscr{C}\\D,Z\in\mathscr{D}}}}\left(\overline{\bigoplus_{\substack{A,W\in\mathscr{C}\\B,X\in\mathscr{D}}}}F^{(A)}_{(B)}G^{(W)}_{(X)}\Delta_{(A\otimes W)}^{(C)}\Delta_{(D)}^{(B\otimes X)}\right)H^{(Y)}_{(Z)}\Delta_{(C\otimes Y)}^{\mathscr{C}}\Delta^{(D\otimes Z)}_{\mathscr{D}}\\
&= \overline{\bigoplus_{\substack{C,Y\in\mathscr{C}\\D,Z\in\mathscr{D}}}}(F\star G)_{(D)}^{(C)}H^{(Y)}_{(Z)}\Delta_{(C\otimes Y)}^{\mathscr{C}}\Delta^{(D\otimes Z)}_{\mathscr{D}}\\
&=((F\star G)\star H)_\mathscr{D}^\mathscr{C}
\end{align}
モノイダルプロ函手の圏
モノイダル圏$\mathscr{C,D}$に対してモノイダルプロ函手の圏$\mathbb{Prof}(\mathscr{C,D})$を考えることができる．
$\mathbb{Prof}(\mathscr{C,D})$は対象をプロ函手$\mathscr{C\times D}\to\mathbb{Set}$射をその間の自然変換で定めたものである．
このモノイダルプロ函手の圏は$(\mathbb{Prof}(\mathscr{C,D}),\star,J)$の三つ組みでモノイダル圏となる．
$J$の定義は前回を参照すること．