第1章. まとめた動機
次のような問題の答え方、ネットで調べても意外と見つからない。
「$X$が一様分布の確率関数の時、$X^2$の分布を式で表せ」
「確率変数を引数とした関数」で検索すると何故か特性関数(確率密度のフーリエ変換！)がヒットする。諦めずに「f(確率変数)」で検索すれば、今度は確率密度関数の結果がヒットする。「確率関数」で検索してもだめだった。こんな感じで数年間くらい、「『確率変数を引数とした関数』たる確率変数の確率密度関数」を見つけることができなかったのであるが、
最近になってようやく、参考になるpdfを見つけたので、その内容をおいしいところだけ抜き出して紹介する。
第2章. 1確率変数関数
確率変数$a$の確率密度関数を$f_a(a)$と書くことにする。
2-1. 結論
連続型確率変数$a$、及びこれを引数として取る関数$b=g(a)$をおくとき、
$f_b (b)$は次のようにして$f_a ()$の式で表される。但し$g()$は微分可能な単調関数である必要がある。
f_b (b)=\left|f_a (g^{-1} (b)) \frac{\mathrm d}{\mathrm d b} g^{-1} (b) \right|
2-2. 例題1
区間$[0,1]$で一様分布、それ以外には一切分布しない連続型確率変数$a$を考えよう。$b=a^2$とするとき、
$f_b (b)$はどのようにして$f_a ()$の式で表されるか求めよ。
→
今回は$g(a)$=$𝑎^2$,$f_a(a)=$1なので
f_b(b)
=1 \times \left|\frac{\mathrm d}{\mathrm d b} g^{-1} (b) \right|
=1 \times \frac{1}{2 \sqrt{b}}
=\frac{1}{2a}
となる。
気が向いたら加筆します。
いいねがつくと気が向きます。
参考pdf
https://shoichimidorikawa.github.io/Lec/ProbDistr/s-p-r.pdf
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~wang/teaching/a04s082.pdf