「奇数の和」が導く美しい数学の規則性とは？

数学には、ふとした発見から驚くような美しさが見えることがあります。

たとえば、

1 = １  
1 + 3 = 4 
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16 
…と続きます。

このように、最初の奇数から順に足していくと、ちょうど1, 4, 9, 16…と、平方数（1², 2², 3², …）になります。
これは数学的にも証明されており、「最初のn個の奇数の和は、n²になる」 という有名な公式に基づいています。最初の $n$ 個の奇数の和は

$$
1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + (2n - 1) = n^2
$$

① 基底（n = 1 のとき）

左辺：1、右辺：$1^2 = 1$

② 仮定（n = k で成り立つと仮定）

$$
1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) = k^2
$$

③ n = k + 1 のとき

$$
1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) + (2k + 1)
= k^2 + (2k + 1)
= k^2 + 2k + 1
= (k + 1)^2
$$

よって、n = k + 1 のときも成り立つ。

# 検証する最大のnの値
max_n = 20

print("n | 奇数の和 | n^2 | 成立？")
print("-" * 30)

for n in range(1, max_n + 1):
    odd_sum = sum(2 * k - 1 for k in range(1, n + 1))
    square = n ** 2
    result = "✓" if odd_sum == square else "✗"
    print(f"{n:2} | {odd_sum:6} | {square:3} | {result}")

n | 奇数の和 | n^2 | 成立？
------------------------------
 1 |      1 |   1 | ✓
 2 |      4 |   4 | ✓
 3 |      9 |   9 | ✓
 4 |     16 |  16 | ✓
 5 |     25 |  25 | ✓
 6 |     36 |  36 | ✓
 7 |     49 |  49 | ✓
 8 |     64 |  64 | ✓
 9 |     81 |  81 | ✓
10 |    100 | 100 | ✓
11 |    121 | 121 | ✓
12 |    144 | 144 | ✓
13 |    169 | 169 | ✓
14 |    196 | 196 | ✓
15 |    225 | 225 | ✓
16 |    256 | 256 | ✓
17 |    289 | 289 | ✓
18 |    324 | 324 | ✓
19 |    361 | 361 | ✓
20 |    400 | 400 | ✓