べき乗・べき根・対数の整理メモ (JavaScript)

数学よわよわ村の民でlogがいっつもごちゃるのでほぼWikipediaコピっただけ 間違ってたら教えてほしいです

冪乗(べきじょう): exponentiation

$$
\Huge{🌱^🕒= 🌳}
$$

$$
\large{底^{指数} = 冪}
$$

• 🌱: 底 (base)
• 🕒: 指数 (exponent)
• 🌳: 冪 (power)

$$
5^2 = 5 \times 5 = 25
$$

const base = 5;
const exponent = 2;
const power = base ** exponent; //=> 25

// const power = Math.pow(base, exponent); //=> 25 (同じ)

• 指数関数(exponential function) とも呼ぶ
• 指数が自然数のとき 累乗(るいじょう) と呼ぶ
• 指数が2のとき 平方(square) と呼ぶ (面積 $m^2$ でお馴染み)
• 指数が3のとき 立方(cube) と呼ぶ (体積 $m^3$ でお馴染み)
• 底がネイピア数 $e$ のとき 自然指数関数(natural exponential function) と呼ぶ
  ($e^n$) ($\exp n$) (Math.exp(n))
  「指数関数」のみで「自然指数関数」を指すこともある

ネイピア数 $e$ が何かは説明できるほど分かってないので数学大好き村の民に聞いてください

冪根(べきこん): nth root

$$
\huge{\sqrt[ 🕒 ]{ 🌳 } = 🌱}
$$

$$
\large{\sqrt[次数]{被開平数}=冪根}
$$

• 🌳: 被開平数 (radicand)
• 🕒: 次数 (degree)
• 🌱: 冪根 (root)
• $\sqrt{}$: 根号 (radix, radical sign)

$$\sqrt[2]{25} = 5$$

const radicand = 25;
const degree = 2;
// const root = radicand ** (1/degree); //=> 5
// この方法だと小数点計算の誤差が多発する
// 次数が2ならMath.sqrt, 次数が3ならMath.cbrtを使うべき

const root = Math.sqrt(radicand); //=> 5 (平方根)

• 冪乗根(べきじょうこん)とも呼ぶ
• 次数が自然数のとき 累乗根(るいじょう) と呼ぶ
• 次数が2のとき 平方根(square root: sqrt) と呼び、次数は通常省略する ($\sqrt{x}$) (Math.sqrt(n))
• 次数が3のとき 立方根(cubic root: cbrt) と呼ぶ ($\sqrt[3]{x}$) (Math.cbrt(n))

対数: logarithm

$$
\Huge{\log_🌱{🌳} = 🕒}
$$
$$
\large{\log_底{真数} = 対数}
$$

• 🌳: 真数 (anti-logarithm)
• 🌱: 底 (base)
• 🕒: 対数 (logarithm)

$$
\log_{5}{25} = 2
$$

const anti = 25;
const base = 5;
const logarithm = Math.log(anti) / Math.log(base); //=> 2
// Math.log(anti) は 底がネイピア数eの自然対数
// 底が2ならMath.log2(anti)、底が10ならMath.log10(anti)が用意されてるのでそちらを使う

• 底はしばしば省略され、$e$ や10となっていることが多い (どこかに明記されるはず)
• 底が $e$ のとき 自然対数(natural logarithm) と呼ぶ ($\ln n$) (Math.log(n))
• 底が10のとき 常用対数(common logarithm) と呼び、数値の桁数を数えるのに使える
  Math.ceil(Math.log10(12345)); //=> 5
• 計算量の計算で$O(\log N)$と書いた場合など、情報科学では底2とすることが多いらしい
  二進数の桁数を数えるときにも使える
  Math.ceil(Math.log2(0b10101)); //=> 5

何でそうなるかは説明できるほど理解できてないのでWikipediaや数学大好き村の民に聞くこと

冪根のroot = radicand ** (1/degree)って何なの

(たしか結城先生の本かなんかで読んだ気がすることをうろ覚えで書く)

$x^n$ の指数 $n$ について
$n$ が1増えると $x$ をかける回数が増える
$n$ が1減るなら $x$ をかける回数が減る、ではなく、$\frac{1}{x}$をかけていると考えてみる

$x^3 = x \times x \times x$
$x^2 = x^3 \times \frac{1}{x}$
$x^1 = x^2 \times \frac{1}{x} = x$
$x^0 = x^1 \times \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1$

マイナスにも拡張してみる

$x^{-1} = x^0 \times \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$
$x^{-2} = x^1 \times \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2}$
$x^{-3} = x^2 \times \frac{1}{x} = \frac{1}{x^3}$

つまり

$x^{n+1} = x^n \times x$
$x^{n-1} = x^n \times \frac{1}{x}$

じゃぁ次数が $\frac{1}{n}$ とかになったら？

$2^2 = 2 \times 2 = 4$
$2^1 = 2^2 \times \frac{1}{2} = 2$
$\large{2^{\frac{1}{2}} = \Huge{?}}$
$2^0 = 2^1 \times \frac{1}{2} = 1$

この先は君の目で確かめてくれ！

大丈夫？〇通の攻略メモだよ