秘密鍵情報やsecret等の保存は悩ましいところです。
ExpoではSecureStoreという、iOSだと、Keychain Servicesを、AndroidならKeystore Systemをラップした保存手法を提供してくれます。AsyncStoreとほぼ同じ感じで使えるようです。

App.js

実装は以下の通り。特に難しいことはありません。セットしない、deleteした場合はnullが返るようです。

App.js

import React from 'react';
import { StyleSheet, Text, View, Button } from 'react-native';
import { SecureStore } from 'expo';

export default class App extends React.Component {
    render() {
        return (
            <View style={{ flex: 1, alignItems: 'center', justifyContent: 'center' }}>
                <Button
                    title='setItem'
                    onPress={() => this.handleSetItem()}
                />
                <Button
                    title='getItem'
                    onPress={() => this.handleGetItem()}
                />
                <Button
                    title='deleteItem'
                    onPress={() => this.handleDeleteItem()}
                />
            </View>
        );
    }

    handleSetItem = async () => {
        await SecureStore.setItemAsync('access_key', 'hoge');
        alert('setItem');
    }

    handleGetItem = async () => {
        const key = await SecureStore.getItemAsync('access_key');
        if (key === null) {
            alert('セットされていません。');
        } else {
            alert(key);
        }
    }

    handleDeleteItem = async () => {
        await SecureStore.deleteItemAsync('access_key');
        alert('deleteItem');
    }
}