ε-N論法に興味を持ち、ε-N論法とは何を言っているのか？について、考えていました。そこで自分なりに理解したイメージを以下にまとめてみます。

ε-N論法とは

∀ε>0,∃N\in \mathbb{N}　s.t.　∀n\in\mathbb{N},n>N⇒|an-α|<ε

なんだか宇宙語のようですが、これは目の慣れだと思います。Cの関数ポインタの宣言とか、perlの変態記法と同じ。

ε-N論法を理解するには、最低限、以下の述語論理の記号を知っておく必要があると思います。まずはこれらについて説明します。

述語論理の記号∀(すべて),∃(存在する)
∀,∃,∀の入れ子構造

任意の、すべての（∀）

「任意の」というと、日常的には「as you like」のニュアンスが強いですが、数学用語としては「すべての」に近いです。

「任意のヒヨコはオスである」
「任意の水は100℃で沸騰する」

箱の中にいるすべてのヒヨコがオスである場合、「任意のヒヨコはオスである」（箱の中からどのヒヨコを取り出しても、そのヒヨコはオス）とか、「任意の水は100℃で沸騰する」（地球上のどの水をもってきても、それの沸点は100℃である）といった具合。

要素の全量が10である場合、a[0..9]のすべてが条件を満たすイメージです（まあ、100℃の定義が「水の沸点」なので、トートロジーなんですが…）。

コードで書くと、「任意の（∀）」はこんなイメージです。

is_all.c

int is_all(){
    fot(int n=0;n<sizeof(array)/sizeof(*array);n++){
        if(!is_male(array[n]))
            return false;
    }
    return true;
}

存在する（∃）

集合の要素のうち、少なくともいずれか一つの要素が条件を満たす場合、条件を満たす要素が「存在する」といいます。すべての要素が条件を満たす場合も同様です。

箱の中のヒヨコに、少なくともオスが1匹でも存在する場合はもちろん、10匹中10匹すべてがオスであった場合でも同様です。

is_exist.c

int is_exist(){
    for(int n=0;n<sizeof(array)/sizeof(*array); n++){
        if(is_male(array[n]))
            return true;
    }
    return false;
}

∀,∃が入れ子の場合

一つの箱に入った複数のヒヨコを考えてきましたが、さらに、箱が複数ある場合について考えて見ます。

A～Cの箱があります。それぞれの箱の中には、1～10の番号がついた10匹のヒヨコが入っているとします。どの箱をとっても、その中にいるヒヨコのうち、「ある番号」より後のヒヨコがすべてオスとなるような、そんな「ある番号」が存在する。これが、∀と∃が入れ子になった式のイメージです（M=オス、F=メスを意味します）。

箱	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	ある番号
A	M	M	F	M	F	M	M	M	M	M	5より後のヒヨコがすべてオス
B	M	M	F	M	F	M	F	F	M	M	8より後のヒヨコがすべてオス
C	F	M	M	M	M	M	M	M	M	M	1より後のヒヨコがすべてオス

A・B・Cのすべての箱について、「ある番号」が存在するため、「任意の箱について、ある番号より後のヒヨコがすべてオスであるような、そんな番号が存在する」と言えます。論理式で擬似的に表現すると、こうなります。

∀box,∃Num　s.t.　∀n, n>Num⇒IsMale(hiyoko[n])

任意の箱（box）について、ある番号（Num）以降のヒヨコがすべてオスであるような、そんな番号が存在する。

∀,∃が入れ子になった場合、「いっぺんに全部を考えようとしない」のがポイントです。まず、箱を一つにしぼって、「すべてのヒヨコがオスである」のか、「オスのヒヨコが存在する」のかを考える。つぎに、ヒヨコのことは忘れて「すべての箱がそう」なのか、「そんな箱が存在する」のかを考えると、よい感じです。

ε-N論法では、箱（数列）が一つなので、数列を一つにして考えてみます。

子供たちを一列に並ばせ、前から順に1,2,3,…と番号をつけます。その下に、それぞれの子供の身長を書き出します。

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
160.5	160.4	159.9	158.2	160.1	140.1	139.8	138.2	137.6	136.5

身長が140cm未満の子供に★印をつけると、こうなります。

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
160.5	158.2	159.9	139.9	160.1	140.1	139.8	138.2	137.6	136.5
			★			★	★	★	★

この列において、「ある番号より後ろの子供がすべて140cm未満となるような、そんな”ある番号”」を探してみます。4番目の子供は139.9cmなので140cm未満ですが、後続の5～6番目の子供が140cm未満でない、つまり「後ろの子供がすべて140cm未満」の条件を満たさないため、「ある番号」は3ではありません。

7番目の子供をみると、後続の8～10番目の子供がすべて140cm未満であるため、6は「ある番号」に成りえます（6でなくても、7,8,9,10でもよいです）。

少し身長を下げて、基準身長を138cmとします。すると、9～10番目の子供が138cm未満であるため、ある番号は「8」となります。

この例では数列は有限ですが、どのような基準身長のもとでも「後続のすべての子供が、基準身長より小さくなるような、ある番号が存在する」が成り立つ。これが、ε-N論法のイメージです。

ε-N論法のイメージ

ε-N論法の理解に混乱を招く理由の一つとして、ε,N,n,αの値の「種類の違い」を混同してしまうことが挙げられます。この種類の違いとは、プログラミングでいう「配列の各要素の値」と「配列のインデックス」の違いです。「ε」が配列の各要素の値、N,nは配列のインデックス。εとn、Nの値の種類を混同しないように…。

具体的に、一般項に1/nをもつ配列を作ってみます。

ipsd.c


int n;
float a[INT_MAX];

/* 数列を作成 */
for(n=1; n<INT_MAX; n++){
    a[n]=1./n;
}

/* 数列を表示 */
for(n=1; n<sizeof(a)/sizeof(*a); n++){
    printf("%d:%f\n", n, a[n]);
}

実行結果

$ ./ipsd
1:1.000000
2:0.500000
3:0.333333
4:0.250000
5:0.200000
6:0.166667
7:0.142857
8:0.125000
9:0.111111
10:0.100000
11:0.090909
12:0.083333
13:0.076923
14:0.071429
15:0.066667
(中略)
96:0.010417
97:0.010309
98:0.010204
99:0.010101
100:0.010000
(中略)
995:0.001005
996:0.001004
997:0.001003
998:0.001002
999:0.001001
1000:0.001000
(以下略)
$

配列の中身をダンプしてみると、0に収束しそうな雰囲気が感じ取れます。代数的には、この配列は以下のように定義されます。

\lim_{n \to INT\_MAX-1} 1/n

ここでεの値として、例えばε=0.08をとると、

ε=0.08近辺

11:0.090909
12:0.083333    <== N=12
--------(ε=0.08)--------
13:0.076923    <== a[n=13]<ε　が真
14:0.071429    <== a[n=14]<ε　が真
15:0.066667    <== a[n=15]<ε　が真

13番目以降の配列要素の値は、すべてε=0.08未満となっています。この部分が、ε-N論法の以下の部分式で表されるものです。

～s.t.　∀n\in\mathbb{N},n>N⇒|a_n-α|<ε

「任意のnのもとで、nがNより大きいならば、a[n]と極限値αとの距離はε未満である」

ちなみに、

|a_n-α|<ε

の部分ですが、|A-B|とは、A-Bの絶対値、つまりA～B間の距離を意味します。つまりε-N論法とは、極限値αへの収束を「αとの距離」として扱うことで、その距離がε未満であることを示すものです。この数列の場合、極限値αは0のため、|a_n-α|はa_nと同じことですが。

εの値を、もっと小さくしてみます。

ε=0.001005近辺

995:0.001005    <== N=995
996:0.001004    <== a[n=996]<ε　が真
997:0.001003    <== a[n=997]<ε　が真
998:0.001002    <== a[n=998]<ε　が真
999:0.001001    <== a[n=999]<ε　が真
1000:0.001000   <== a[n=1000]<ε　が真
(以下略)

ε=0.001005の場合、996以降の配列要素の値がε未満となるため、N=995となります。

というように、「εの値を変化させても上記の関係が成立する」ことを、以下の式で表現しています。

∀ε>0,∃N\in \mathbb{N}　s.t.～

「すべてのεについて、～が成り立つような、そんなNが存在する。」

「任意のε」という表現が必要なのは、εをどれほど小さくしても、Nの存在が成り立つことを示すためです。これが、「ある数列がある値に収束する」ことの代数的な定義です。